Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.2. Области с равномерно совершенными границами 109
Отметим также, что M
0
(Ω) = 0 для любой односвязной области, но об-
ратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Семейство {Ω : M
0
(Ω) = 0} является богатой коллекцией областей,
причем оно содержит области произвольной связности.
Так, например, равенство M
0
(Ω
0
\K) = 0 справедливо для всех областей
Ω = Ω
0
\ K, удовлетворяющих следующим условиям:
(1) Ω
0
– такая область в плоскости C, что sup{dist(z, ∂Ω
0
) : z ∈ Ω
0
} = 1, в
частности, Ω
0
– некоторая полоса ширины 2;
(2) K =
S
∞
m=1
C
m
, где C
m
являются континуумами (связными компакта-
ми), причем diam C
m
≥ 2;
(3) K ⊂ Ω
0
, и Ω
0
\ K – открытое связное множество.
В литературе по равномерно совершенным множествам можно найти и
два других варианта определения максимального модуля области. Во всех
определениях максимальный модуль односвязной гиперболической области
берется равным нулю (или вовсе не рассматривается).
Считая определение максимального модуля M
0
(Ω) первой верси-
ей, приведем две других.
Версия вторая. Максимальный модуль M
1
(Ω) определяется так:
P
1
) M
1
(Ω) = 0, если не существует никакой окружности, лежащей в об-
ласти Ω и разделяющей граничные компоненты этой области;
P
2
) если в область Ω можно вписать хотя бы одну окружность, разделя-
ющую ее граничные компоненты, то корректно определена величина
M
1
(Ω) := sup
1
2π
ln
R(A)
r(A)
,
где супремум берется по всем таким круговым концентрическим кольцам
A = {z ∈ C : r(A) < |z − z
0
| < R(A)} ⊂ Ω,
которые разделяют компоненты ∂Ω.
Версия третья, она является основной в теоретических исследованиях,
когда нет необходимости в явных оценках постоянных.
Максимальный модуль M(Ω) определяется следующим образом.
P
1
) M(Ω) = 0 для любой односвязной области гиперболического типа, а
для любой двусвязной области Ω = Ω
2
максимальный модуль определяется
равным модулю M(Ω
2
) этой области;
10.2. Области с равномерно совершенными границами                           109

   Отметим также, что M0 (Ω) = 0 для любой односвязной области, но об-
ратное утверждение, вообще говоря, неверно.
   Семейство {Ω : M0 (Ω) = 0} является богатой коллекцией областей,
причем оно содержит области произвольной связности.
   Так, например, равенство M0 (Ω0 \ K) = 0 справедливо для всех областей
Ω = Ω0 \ K, удовлетворяющих следующим условиям:
   (1) Ω0 – такая область в плоскости C, что sup{dist(z, ∂Ω0 ) : z ∈ Ω0 } = 1, в
частности, ΩS0 – некоторая полоса ширины 2;
   (2) K = ∞  m=1 Cm , где Cm являются континуумами (связными компакта-
ми), причем diam Cm ≥ 2;
   (3) K ⊂ Ω0 , и Ω0 \ K – открытое связное множество.

   В литературе по равномерно совершенным множествам можно найти и
два других варианта определения максимального модуля области. Во всех
определениях максимальный модуль односвязной гиперболической области
берется равным нулю (или вовсе не рассматривается).
   Считая определение максимального модуля M0 (Ω) первой верси-
ей, приведем две других.

   Версия вторая. Максимальный модуль M1 (Ω) определяется так:

   P1 ) M1 (Ω) = 0, если не существует никакой окружности, лежащей в об-
ласти Ω и разделяющей граничные компоненты этой области;
   P2 ) если в область Ω можно вписать хотя бы одну окружность, разделя-
ющую ее граничные компоненты, то корректно определена величина

                                           1    R(A)
                          M1 (Ω) := sup      ln      ,
                                          2π    r(A)

где супремум берется по всем таким круговым концентрическим кольцам

                  A = {z ∈ C : r(A) < |z − z0 | < R(A)} ⊂ Ω,

которые разделяют компоненты ∂Ω.

   Версия третья, она является основной в теоретических исследованиях,
когда нет необходимости в явных оценках постоянных.
   Максимальный модуль M (Ω) определяется следующим образом.

   P1 ) M (Ω) = 0 для любой односвязной области гиперболического типа, а
для любой двусвязной области Ω = Ω2 максимальный модуль определяется
равным модулю M (Ω2 ) этой области;

Страницы