Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

108 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
Для бесконечносвязных областей равномерная совершенность означает
нечто большее, чем простое отсутствие изолированных граничных точек.
Приведем три примера. Рассмотрим области типа B(0, 3)\E
j
, где B(0, 3) =
{z ∈ C : |z| < 3}, т. е. круг радиуса 3, из которого удален некоторый компакт.
Границы рассматриваемых областей состоят из объединения удаляемых ком-
пактов с окружностью радиуса 3.
Пример 1. Предположим, что E
1
=
S
∞
m=1
K
m
S
{0}, где
K
m
= {z = x + iy ∈ C : y = 0, m
−m
≤ x ≤ 2m
−m
}.
Область Ω
1
= B(0, 3)\E
1
содержит в себе кольца
A
m
= {z ∈ C : 2(m + 1)
−m−1
< |z| < m
−m
}
и
R(A
m
)
r(A
m
)
=
m + 1
2
µ
1 +
1
m
m
→ ∞ при m → ∞.
Следовательно,
M
0
(Ω
1
) = ∞,
т. е. граница области Ω
1
не является равномерно совершенной, хотя она,
очевидно, представляет собой совершенное множество.
Пример 2. Пусть теперь E
2
=
S
∞
m=1
L
2m−1
S
{0}, где
L
2m−1
= {z = x + iy ∈ C : y = 0, 3
−2m+1
≤ x ≤ 3
−2m+2
}.
Для любого кольца A в Ω
2
= B(0, 3)\E
2
с центром на ∂Ω
2
имеем R(A)/r(A) ≤
3. Просто показать, что
M
0
(Ω
2
) =
1
2π
ln 3.
Таким образом, граница области Ω
2
является равномерно совершенной,
несмотря на то, что вторая область отличается от области из примера 1 лишь
выбором длин удаляемых отрезков.
Следующий пример существенно отличается от первых двух тем, что рас-
сматриваемая область не является счетносвязной.
Пример 3. Пусть E
3
= K ⊂ [0, 1] – классическое канторово множество.
Рассмотрим
Ω
3
= B(0, 3)\E
3
.
Легко показать, что
M
0
(Ω
3
) = M
0
(Ω
2
) =
1
2π
ln 3.
108                           Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

   Для бесконечносвязных областей равномерная совершенность означает
нечто большее, чем простое отсутствие изолированных граничных точек.
   Приведем три примера. Рассмотрим области типа B(0, 3)\Ej , где B(0, 3) =
{z ∈ C : |z| < 3}, т. е. круг радиуса 3, из которого удален некоторый компакт.
Границы рассматриваемых областей состоят из объединения удаляемых ком-
пактов с окружностью радиуса 3.
                                             S        S
   Пример 1. Предположим, что E1 = ∞           m=1 Km   {0}, где

             Km = {z = x + iy ∈ C : y = 0, m−m ≤ x ≤ 2m−m }.

Область Ω1 = B(0, 3)\E1 содержит в себе кольца

                 Am = {z ∈ C : 2(m + 1)−m−1 < |z| < m−m }

и                               µ     ¶m
               R(Am )   m+1         1
                      =          1+      → ∞ при m → ∞.
               r(Am )    2          m
Следовательно,
                                M0 (Ω1 ) = ∞,
т. е. граница области Ω1 не является равномерно совершенной, хотя она,
очевидно, представляет собой совершенное множество.
                                 S           S
    Пример 2. Пусть теперь E2 = ∞  m=1 L2m−1   {0}, где

           L2m−1 = {z = x + iy ∈ C : y = 0, 3−2m+1 ≤ x ≤ 3−2m+2 }.

Для любого кольца A в Ω2 = B(0, 3)\E2 с центром на ∂Ω2 имеем R(A)/r(A) ≤
3. Просто показать, что
                                         1
                             M0 (Ω2 ) =    ln 3.
                                        2π
    Таким образом, граница области Ω2 является равномерно совершенной,
несмотря на то, что вторая область отличается от области из примера 1 лишь
выбором длин удаляемых отрезков.
   Следующий пример существенно отличается от первых двух тем, что рас-
сматриваемая область не является счетносвязной.
   Пример 3. Пусть E3 = K ⊂ [0, 1] – классическое канторово множество.
Рассмотрим
                            Ω3 = B(0, 3)\E3 .
Легко показать, что
                                                  1
                         M0 (Ω3 ) = M0 (Ω2 ) =      ln 3.
                                                 2π

Страницы