Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.2. Области с равномерно совершенными границами 107
Рис. 10.2: Определение максимального модуля
Поясним некоторые простые, но важные нюансы в этом определении об-
ластей с равномерно совершенными границами.
Поскольку мы рассматриваем области Ω ⊂ C, т. е. ∞ /∈ Ω, бесконечно
удаленная точка является либо внешней, либо граничной точкой для обла-
сти Ω. Поэтому в области {z ∈ C : |z −z
0
| ≥ R(A)} имеются точки из ∂Ω, и
кольца A ⊂ Ω, участвующие в пункте P
2
) определения максималь-
ного модуля M
0
(Ω), разделяют граничные компоненты области Ω,
так как круг {z ∈ C : |z − z
0
| ≤ r (A )}, внутренняя компонента множества
C \ A, очевидно, содержит граничную точку z
0
и во внешней компоненте
{z ∈ C : |z − z
0
| ≥ R(A)} множества C \ A также имеются граничные точки
рассматриваемой области Ω.
Отметим далее, что граница ∂Ω любой односвязной области Ω ⊂ C ги-
перболического типа является равномерно совершенной автоматически.
Совершенность границы ∂Ω для любой конечносвязной области означает,
что ∂Ω не имеет компонент, состоящих из одной точки, т. е. граница любой
конечносвязной области совершенна тогда и только тогда, когда отсутствуют
изолированные граничные точки. Легко установить, что равномерная совер-
шенность в этом случае сводится к тому же простому условию отсутствия
вырожденных в точку компонент границы области.
Таким образом, граница любой конечносвязной области равномерно со-
вершенна тогда и только тогда, когда она совершенна.
10.2. Области с равномерно совершенными границами                     107




              Рис. 10.2: Определение максимального модуля



   Поясним некоторые простые, но важные нюансы в этом определении об-
ластей с равномерно совершенными границами.

   Поскольку мы рассматриваем области Ω ⊂ C, т. е. ∞ ∈     / Ω, бесконечно
удаленная точка является либо внешней, либо граничной точкой для обла-
сти Ω. Поэтому в области {z ∈ C : |z − z0 | ≥ R(A)} имеются точки из ∂Ω, и
кольца A ⊂ Ω, участвующие в пункте P2 ) определения максималь-
ного модуля M0 (Ω), разделяют граничные компоненты области Ω,
так как круг {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r(A)}, внутренняя компонента множества
C \ A, очевидно, содержит граничную точку z0 и во внешней компоненте
{z ∈ C : |z − z0 | ≥ R(A)} множества C \ A также имеются граничные точки
рассматриваемой области Ω.

   Отметим далее, что граница ∂Ω любой односвязной области Ω ⊂ C ги-
перболического типа является равномерно совершенной автоматически.

   Совершенность границы ∂Ω для любой конечносвязной области означает,
что ∂Ω не имеет компонент, состоящих из одной точки, т. е. граница любой
конечносвязной области совершенна тогда и только тогда, когда отсутствуют
изолированные граничные точки. Легко установить, что равномерная совер-
шенность в этом случае сводится к тому же простому условию отсутствия
вырожденных в точку компонент границы области.
   Таким образом, граница любой конечносвязной области равномерно со-
вершенна тогда и только тогда, когда она совершенна.

Страницы