Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.1. Неравенство Харди на луче и в областях на плоскости 105
Пользуясь этим и формулой (10.3), окончательно получаем
ZZ
Ω
1
|f|
p
δ
s
dx dy ≤
p
s − 2
ZZ
Ω
1
|f|
p−1
|∇f|
δ
s−1
dx dy.
В случае p = 1 полученное соотношение представляет собой доказываемое
неравенство. Если p > 1, то, дополнительно применяя неравенство Гёльдера
с показателями p и p
0
= p/(p −1) к интегралу в правой части, получаем
ZZ
Ω
1
|f|
p
δ
s
dx dy ≤
p
s − 2
µ
ZZ
Ω
1
|f|
p
δ
s
dx dy
1−1/p
µ
ZZ
Ω
|∇f|
p
δ
s−p
dx dy
1/p
.
Отсюда и следует доказываемое неравенство (10.2) при p > 1.
Шаг 4. Покажем теперь точность верхней границы (p/(s − 2))
p
на неко-
торых примерах. Пусть Ω
0
– открытое множество в C такое, что
0 ∈ ∂Ω
0
, {z ∈ C : 0 < |z| < 3} ⊂ Ω
0
.
Введем следующие обозначения
X =
ZZ
Ω
0
|u|
p
δ
s
dx dy, Y =
ZZ
Ω
0
|∇u|
p
δ
s−p
dx dy, δ = dist(z, ∂Ω
0
).
Пусть p ≥ 1, s > 2, ε > 0. Рассмотрим функцию u = u
ε
(z), определенную
равенствами
u
ε
(z) = |z|
(s−2+ε)/p
, 0 < |z| ≤ 1,
u
ε
(z) = 2 − |z|, 1 < |z| ≤ 2,
u
ε
(z) = 0, 2 < |z| < ∞.
Прямыми вычислениями получаем
X(u
ε
) =
2π
ε
+ O(1), Y (u
ε
) =
2π
ε
µ
s − 2 + ε
p
p
+ O(1).
Аппроксимируя u
ε
радиальными функциями (т. е. функциями, зависящими
лишь от |z|), принадлежащими C
∞
0
(B(0, 3) \ {0}), получаем, что постоянная
в неравенстве (10.2) не может быть меньше величины
lim
ε→0
+
µ
p
s − 2 + ε
p
=
µ
p
s − 2
p
.
В частности, константа из теоремы точна для области B(0, 3) \{0} , следова-
тельно, она точна для любого круга с проколотым центром.
10.1. Неравенство Харди на луче и в областях на плоскости                          105

Пользуясь этим и формулой (10.3), окончательно получаем
               ZZ                      ZZ
                    |f |p           p      |f |p−1 |∇f |
                       s
                          dx dy ≤                        dx dy.
                  Ω1 δ            s − 2 Ω1      δ s−1
В случае p = 1 полученное соотношение представляет собой доказываемое
неравенство. Если p > 1, то, дополнительно применяя неравенство Гёльдера
с показателями p и p0 = p/(p − 1) к интегралу в правой части, получаем
     ZZ                     µZ Z               ¶1−1/p µZ Z               ¶1/p
          |f |p          p         |f |p                    |∇f |p
             s
                dx dy ≤               s
                                         dx dy                 s−p
                                                                   dx dy      .
        Ω1 δ            s−2      Ω1 δ                      Ω δ

Отсюда и следует доказываемое неравенство (10.2) при p > 1.

   Шаг 4. Покажем теперь точность верхней границы (p/(s − 2))p на неко-
торых примерах. Пусть Ω0 – открытое множество в C такое, что

                    0 ∈ ∂Ω0 ,    {z ∈ C : 0 < |z| < 3} ⊂ Ω0 .

Введем следующие обозначения
           ZZ                    ZZ
                 |u|p                  |∇u|p
       X=          s
                      dx dy, Y =         s−p
                                             dx dy,           δ = dist(z, ∂Ω0 ).
              Ω0 δ                  Ω0 δ

Пусть p ≥ 1, s > 2, ε > 0. Рассмотрим функцию u = uε (z), определенную
равенствами
                  uε (z) = |z|(s−2+ε)/p , 0 < |z| ≤ 1,
                     uε (z) = 2 − |z|,               1 < |z| ≤ 2,
                        uε (z) = 0,            2 < |z| < ∞.
Прямыми вычислениями получаем
                                                     µ           ¶p
                    2π                          2π       s−2+ε
           X(uε ) =    + O(1),        Y (uε ) =                       + O(1).
                     ε                           ε         p
Аппроксимируя uε радиальными функциями (т. е. функциями, зависящими
лишь от |z|), принадлежащими C0∞ (B(0, 3) \ {0}), получаем, что постоянная
в неравенстве (10.2) не может быть меньше величины
                            µ       ¶p µ          ¶p
                                p             p
                        lim            =             .
                       ε→0+   s−2+ε         s−2
В частности, константа из теоремы точна для области B(0, 3) \ {0}, следова-
тельно, она точна для любого круга с проколотым центром.

Страницы