Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

104 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
Отметим, что в обоих случаях δ(z) = r, т. е. расстояние до границы явля-
ется одной из координат, а именно, декартовой координатой в первом случае
и полярным радиусом – во втором. Укажем также, что функции ϕ
1
и ϕ
0
являются кусочно-гладкими функциями, их графики состоят из конечного
числа отрезков прямых или дуг парабол.
Переходя к повторным интегралам, для двойного интеграла по множеству
Q(S) 6= ∅ мы получаем формулы двух типов:
если S — сторона квадрата, то
Z
1
0
dx
Z
ϕ
1
(x)
0
|f(x + ir)|
p
r
s
dr; (10.4)
если же S = {0} — вершина квадрата, то
Z
π/2
0
dθ
Z
ϕ
0
(θ)
0
|f(re
iθ
)|
p
r
s
r dr. (10.5)
Преобразуем и оценим внутренние интегралы в формулах (10.4), (10.5)
с учетом того, что f обращается в нуль при r = 0. Для k = 1 или k = 2
получаем
Z
ϕ
2−k
0
|f|
p
r
s
r
k−1
dr =
Z
ϕ
2−k
0
t
k−s−1
dt
Z
t
0
∂|f|
p
∂r
dr ≤
≤ p
Z
ϕ
2−k
0
t
k−s−1
dt
Z
t
0
|f|
p−1
|∇f|dr = p
Z
ϕ
2−k
0
|f|
p−1
|∇f|dr
Z
ϕ
2−k
r
t
k−s−1
dt =
= p
Z
ϕ
2−k
0
|f|
p−1
|∇f| A(r, ϕ
2−k
)dr,
где
A(r, ϕ
2−k
) =
1
s − k
Ã
1
r
s−k
−
1
ϕ
s−k
2−k
!
.
Поскольку при k = 1 или k = 2
A(r, ϕ
2−k
) ≤
1
s − k
1
r
s−k
≤
r
k−1
(s − 2)r
s−1
и интегрирование по внешним переменным x или θ сохраняет неравенство,
для любого Q(S) 6= ∅ имеем
ZZ
Q(S)
|f|
p
δ
s
dx dy ≤
p
s − 2
ZZ
Q(S)
|f|
p−1
|∇f|
δ
s−1
dx dy.
104                                            Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

   Отметим, что в обоих случаях δ(z) = r, т. е. расстояние до границы явля-
ется одной из координат, а именно, декартовой координатой в первом случае
и полярным радиусом – во втором. Укажем также, что функции ϕ1 и ϕ0
являются кусочно-гладкими функциями, их графики состоят из конечного
числа отрезков прямых или дуг парабол.
   Переходя к повторным интегралам, для двойного интеграла по множеству
Q(S) 6= ∅ мы получаем формулы двух типов:
   если S — сторона квадрата, то
                                 Z       1        Z       ϕ1 (x)
                                                                   |f (x + ir)|p
                                             dx                                  dr;                      (10.4)
                                     0                0                  rs

      если же S = {0} — вершина квадрата, то
                                 Z       π/2          Z       ϕ0 (θ)
                                                                       |f (reiθ )|p
                                               dθ                                   r dr.                 (10.5)
                                     0                    0                 rs

   Преобразуем и оценим внутренние интегралы в формулах (10.4), (10.5)
с учетом того, что f обращается в нуль при r = 0. Для k = 1 или k = 2
получаем        Z ϕ2−k                  Z ϕ2−k            Z t
                        |f |p k−1                k−s−1        ∂|f |p
                             r     dr =        t       dt            dr ≤
                 0       rs              0                 0   ∂r
      Z ϕ2−k           Z t                    Z ϕ2−k                  Z ϕ2−k
              k−s−1            p−1                        p−1
  ≤p         t      dt     |f | |∇f |dr = p           |f | |∇f |dr           tk−s−1 dt =
         0                   0                                             0                          r
                                  Z          ϕ2−k
                             =p                     |f |p−1 |∇f | A(r, ϕ2−k )dr,
                                         0
где                                                                    Ã                      !
                                        1                                      1        1
                         A(r, ϕ2−k ) =                                             −              .
                                       s−k                                 rs−k        ϕs−k
                                                                                        2−k

Поскольку при k = 1 или k = 2

                                                        1     1       rk−1
                        A(r, ϕ2−k ) ≤                            ≤
                                                      s − k rs−k   (s − 2)rs−1

и интегрирование по внешним переменным x или θ сохраняет неравенство,
для любого Q(S) 6= ∅ имеем
                 ZZ                                                    ZZ
                             |f |p          p                                      |f |p−1 |∇f |
                                s
                                   dx dy ≤                                                       dx dy.
                      Q(S)    δ            s−2                              Q(S)        δ s−1

Страницы