Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

102 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
Ясно, что для фиксированной функции f ∈ C
∞
0
(Ω) достаточно доказать нера-
венство (10.2) для Ω = Ω
h
при всех достаточно малых h ∈ (0, 1) таких, что
носитель функции f содержится в Ω
h
.
Замена ζ = z/h, z ∈ Ω
h
, показывает, что (10.2) для Ω = Ω
h
и Ω = Ω
1
эквивалентны. Таким образом, нам достаточно доказать неравенство (10.2)
для области вида
Ω
1
= int ∪
m
j=1
([0, 1] × [0, 1] + w
j
), w
j
∈ Z
2
,
составленной из "квадратиков".
Шаг 2 . Построим специальное разбиение области Ω = Ω
1
, в которой
будем теперь доказывать искомое неравенство Харди.
Пусть S – некоторая сторона или вершина квадрата Q
1,w
j
, т. е. q-мерная
грань квадрата, такая, что S ⊂ ∂Ω
1
. Определим следующее подмножество
области Ω
1
:
Q(S) = {z ∈ C : ∃ z
0
∈ int S, B(z, |z − z
0
|) ⊂ Ω
1
},
где B(z, |z − z
0
|) – круг {ζ ∈ C : |ζ − z| < |z
0
− z|}. Отметим, что под
внутренностью int S мы подразумеваем сторону квадрата без концевых точек
и, по определению, int S = S, если S – 0-мерная грань, т.е. точка, являющаяся
вершиной квадрата.
Предположим, что Q(S) 6= ∅. Это всегда имеет место, если S – сторона
квадрата такая, что S ⊂ ∂Ω
1
. Множество Q(S) 6= ∅ является звездной отно-
сительно S, т.е. z
0
+ t(z − z
0
) ∈ Q(S) для любого z
0
∈ int S и всех t ∈ (0, 1),
если |z −z
0
| = dist(z, ∂Ω
1
) и z ∈ Q(S).
Если S
0
– некоторая j-мерная грань некоторого квадрата (j = 0, 1 и S
0
⊂
(∂Ω
1
) \ S), то эквидистантное множество
(S, S
0
) := {z ∈ Ω : dist(z, S) = dist(z, S
0
) ≤ dist(z, ∂Ω
1
)}
является либо отрезком некоторой прямой, либо дугой параболы. Очевидно,
плоская мера mes
2
(S, S
0
) = 0 и
(∂Q(S)) \ S ⊂ ∪
S
0
(S, S
0
),
получаем, что mes
2
∂Q(S) = 0. Следовательно, для любой функции g ∈ C(Ω
1
)
ZZ
Ω
1
g(z) dx dy =
X
S⊂∂Ω
1
ZZ
Q(S)
g(z) dx dy. (10.3)
Предположим, что f ∈ C
∞
0
(Ω
1
), p ≥ 1, s > 2, и будем пользоваться формулой
(10.3) для функции
g(z) =
|f(z)|
p
δ
s
(z)
.
102                              Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

Ясно, что для фиксированной функции f ∈ C0∞ (Ω) достаточно доказать нера-
венство (10.2) для Ω = Ωh при всех достаточно малых h ∈ (0, 1) таких, что
носитель функции f содержится в Ωh .
   Замена ζ = z/h, z ∈ Ωh , показывает, что (10.2) для Ω = Ωh и Ω = Ω1
эквивалентны. Таким образом, нам достаточно доказать неравенство (10.2)
для области вида
                 Ω1 = int ∪m
                           j=1 ([0, 1] × [0, 1] + wj ),      w j ∈ Z2 ,
составленной из "квадратиков".
   Шаг 2 . Построим специальное разбиение области Ω = Ω1 , в которой
будем теперь доказывать искомое неравенство Харди.
   Пусть S – некоторая сторона или вершина квадрата Q1,wj , т. е. q-мерная
грань квадрата, такая, что S ⊂ ∂Ω1 . Определим следующее подмножество
области Ω1 :
               Q(S) = {z ∈ C : ∃ z 0 ∈ int S, B(z, |z − z 0 |) ⊂ Ω1 },
где B(z, |z − z 0 |) – круг {ζ ∈ C : |ζ − z| < |z 0 − z|}. Отметим, что под
внутренностью int S мы подразумеваем сторону квадрата без концевых точек
и, по определению, int S = S, если S – 0-мерная грань, т.е. точка, являющаяся
вершиной квадрата.
    Предположим, что Q(S) 6= ∅. Это всегда имеет место, если S – сторона
квадрата такая, что S ⊂ ∂Ω1 . Множество Q(S) 6= ∅ является звездной отно-
сительно S, т.е. z 0 + t(z − z 0 ) ∈ Q(S) для любого z 0 ∈ int S и всех t ∈ (0, 1),
если |z − z 0 | = dist(z, ∂Ω1 ) и z ∈ Q(S).
    Если S 0 – некоторая j-мерная грань некоторого квадрата (j = 0, 1 и S 0 ⊂
(∂Ω1 ) \ S), то эквидистантное множество
            (S, S 0 ) := {z ∈ Ω : dist(z, S) = dist(z, S 0 ) ≤ dist(z, ∂Ω1 )}
является либо отрезком некоторой прямой, либо дугой параболы. Очевидно,
плоская мера mes2 (S, S 0 ) = 0 и
                             (∂Q(S)) \ S ⊂ ∪S 0 (S, S 0 ),
получаем, что mes2 ∂Q(S) = 0. Следовательно, для любой функции g ∈ C(Ω1 )
                  ZZ                X ZZ
                       g(z) dx dy =           g(z) dx dy.          (10.3)
                        Ω1               S⊂∂Ω1     Q(S)

Предположим, что f ∈ C0∞ (Ω1 ), p ≥ 1, s > 2, и будем пользоваться формулой
(10.3) для функции
                                       |f (z)|p
                               g(z) = s         .
                                        δ (z)

Страницы