Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

100 Глава 10. Приложения к неравенствам Харди
ет c(Ω) < ∞, и до сих пор не решена проблема описания всего множества
"хороших" областей Ω посредством простых геометрических ха-
рактеристик Ω. Более того, неясна возможность такого описания, так как
нет подходящей гипотезы в случае плоских бесконечносвязных областей.
Считается, что весовые неравенства труднее неравенства Пуанкаре. Но
тем не менее оказалось, что задача описания всех "хороших" областей про-
стыми геометрическими условиями решается для следующего двумерного
аналога неравенства Харди
ZZ
Ω
|f|
2
dist
2
(z, ∂Ω)
dx dy ≤ C(Ω)
ZZ
Ω
|∇f|
2
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω) .
А именно, доказано (см., например, стр. 343-345 монографии по гармониче-
ским мерам [25]), что свойство равномерной совершенности границы области
является необходимым и достаточным условием для существования конеч-
ной постоянной C(Ω).
Важным для нас обстоятельством является то, что равномерная совер-
шенность границы области тесно связана со специальным свойством гипер-
болической метрики, и это свойство удается описать в простых и понятных
терминах евклидовой геометрии. Пользуясь этим, в настоящей главе мы при-
ведем решение задачи полного описания всего множества "хороших" плос-
ких областей для указанного выше неравенства Харди.
Первый пункт посвятим вещественному анализу: приведем одномерное
неравенство Харди и дадим с доказательством его двумерный аналог.
10.1 Неравенство Харди на луче и в областях
на плоскости
Оригинальную теорему Харди с сингулярным ядром 1/t
s
(s > 1) можно
сформулировать следующим образом.
Теорема 10.1. Пусть 1 ≤ p < ∞ и 1 < s < ∞. Для любой абсолютно
непрерывной неубывающей функции f : [0, ∞) → R такой, что f(0) = 0 и
f
0
/t
s/p−1
∈ L
p
(0, ∞), имеет место неравенство
Z
∞
0
f(t)
p
t
s
dt ≤
µ
p
s −1
p
Z
∞
0
f
0
(t)
p
t
s−p
dt. (10.1)
Если p > 1 и f 6≡ 0, то неравенство является строгим (т. е. не существу-
ет экстремальной функции), но постоянная (p/(s −1))
p
является точной,
100                        Глава 10. Приложения к неравенствам Харди

ет c(Ω) < ∞, и до сих пор не решена проблема описания всего множества
"хороших" областей Ω посредством простых геометрических ха-
рактеристик Ω. Более того, неясна возможность такого описания, так как
нет подходящей гипотезы в случае плоских бесконечносвязных областей.
    Считается, что весовые неравенства труднее неравенства Пуанкаре. Но
тем не менее оказалось, что задача описания всех "хороших" областей про-
стыми геометрическими условиями решается для следующего двумерного
аналога неравенства Харди
         ZZ                            ZZ
                  |f |2
                 2        dx dy ≤ C(Ω)    |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω) .
             dist (z, ∂Ω)
         Ω                           Ω

А именно, доказано (см., например, стр. 343-345 монографии по гармониче-
ским мерам [25]), что свойство равномерной совершенности границы области
является необходимым и достаточным условием для существования конеч-
ной постоянной C(Ω).
   Важным для нас обстоятельством является то, что равномерная совер-
шенность границы области тесно связана со специальным свойством гипер-
болической метрики, и это свойство удается описать в простых и понятных
терминах евклидовой геометрии. Пользуясь этим, в настоящей главе мы при-
ведем решение задачи полного описания всего множества "хороших" плос-
ких областей для указанного выше неравенства Харди.
   Первый пункт посвятим вещественному анализу: приведем одномерное
неравенство Харди и дадим с доказательством его двумерный аналог.


10.1     Неравенство Харди на луче и в областях
         на плоскости
   Оригинальную теорему Харди с сингулярным ядром 1/ts (s > 1) можно
сформулировать следующим образом.

Теорема 10.1. Пусть 1 ≤ p < ∞ и 1 < s < ∞. Для любой абсолютно
непрерывной неубывающей функции f : [0, ∞) → R такой, что f (0) = 0 и
f 0 /ts/p−1 ∈ Lp (0, ∞), имеет место неравенство
                        Z ∞             µ     ¶p Z ∞ 0 p
                            f (t)p         p        f (t)
                                   dt ≤                   dt.   (10.1)
                         0    ts          s−1     0  ts−p

Если p > 1 и f 6≡ 0, то неравенство является строгим (т. е. не существу-
ет экстремальной функции), но постоянная (p/(s − 1))p является точной,

Страницы