Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

98 Глава 9. Квазиконформные отображения
5) Пусть f : Ω → D — K-квазиконформное отображение жордановой
области на единичный круг, удовлетворяющее уравнению Бельтрами f
¯z
=
µ(z)f
z
с условием |µ(z)| ≤ k = const < 1, z ∈ Ω.
Докажите, что такое отображение можно определить, причем единствен-
ным образом, если задать одну из нормировок B) или C):
B) для двух троек различных граничных точек z
1
, z
2
, z
3
∈ ∂D и
w
1
, w
2
, w
3
∈ ∂Ω, выбранных с учетом положительной ориентации границ,
выполняются равенства f(z
1
) = w
1
, f(z
2
) = w
2
, f(z
3
) = w
3
;
C) для пары внутренних точек z
0
∈ D, w
0
∈ Ω и пары граничных точек
z
1
∈ ∂D, w
1
∈ ∂Ω выполняются равенства f(z
0
) = w
0
, f(z
1
) = w
1
.
6) Докажите, что справедливы следующие утверждения:
6.1) отображения f и f
−1
одновременно K-квазиконформны;
6.2) суперпозиция K
1
-квазиконформного и K
2
-квазиконформного отобра-
жений будет K
1
K
2
-квазиконформным отображением.
Если K
1
= 1 или K
2
= 1, то, соответственно, будем иметь равен-
ства K
1
K = K или KK
2
= K, поэтому мы можем утверждать: класс
K-квазиконформных отображений инвариантен относительно конформных
отображений.
7) Попробуйте самостоятельно разобраться в доказательстве следующей
теоремы Мори, приведенной в книге [5], с. 48-51.
Теорема 9.4. Пусть ϕ : D → D – K-квазиконформное отображение еди-
ничного круга на себя с нормировкой ϕ(0) = 0. Тогда функция ϕ является
гёльдеровой, точнее, для любых двух точек z
1
, z
2
из единичного круга имеет
место неравенство
|ϕ(z
1
) − ϕ(z
2
)| < 16 |z
1
− z
2
|
1/K
, z
1
6= z
2
,
причем константа 16 не может быть уменьшена.
98                                   Глава 9. Квазиконформные отображения

   5) Пусть f : Ω → D — K-квазиконформное отображение жордановой
области на единичный круг, удовлетворяющее уравнению Бельтрами fz̄ =
µ(z)fz с условием |µ(z)| ≤ k = const < 1, z ∈ Ω.

  Докажите, что такое отображение можно определить, причем единствен-
ным образом, если задать одну из нормировок B) или C):

     B) для двух троек различных граничных точек z1 , z2 , z3 ∈ ∂D и
w1 , w2 , w3 ∈ ∂Ω, выбранных с учетом положительной ориентации границ,
выполняются равенства f (z1 ) = w1 , f (z2 ) = w2 , f (z3 ) = w3 ;

    C) для пары внутренних точек z0 ∈ D, w0 ∈ Ω и пары граничных точек
z1 ∈ ∂D, w1 ∈ ∂Ω выполняются равенства f (z0 ) = w0 , f (z1 ) = w1 .

     6) Докажите, что справедливы следующие утверждения:

     6.1) отображения f и f −1 одновременно K-квазиконформны;

  6.2) суперпозиция K1 -квазиконформного и K2 -квазиконформного отобра-
жений будет K1 K2 -квазиконформным отображением.

   Если K1 = 1 или K2 = 1, то, соответственно, будем иметь равен-
ства K1 K = K или KK2 = K, поэтому мы можем утверждать: класс
K-квазиконформных отображений инвариантен относительно конформных
отображений.

   7) Попробуйте самостоятельно разобраться в доказательстве следующей
теоремы Мори, приведенной в книге [5], с. 48-51.


Теорема 9.4. Пусть ϕ : D → D – K-квазиконформное отображение еди-
ничного круга на себя с нормировкой ϕ(0) = 0. Тогда функция ϕ является
гёльдеровой, точнее, для любых двух точек z1 , z2 из единичного круга имеет
место неравенство

                  |ϕ(z1 ) − ϕ(z2 )| < 16 |z1 − z2 |1/K ,   z1 6= z2 ,

причем константа 16 не может быть уменьшена.

Страницы