Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9.4. Задачи и упражнения 97
и построенное нами отображение является квазиконформным с коэффици-
ентом
K =
1 +
1
3
1 −
1
3
= 2.
2) Как хорошо известно, конформное отображение круга |z| < 1 на круг
|w| < 1 дается функцией
w =
z −a
1 − ¯az
,
где a — постоянная, |a| < 1.
Зафиксируем теперь z как точку единичного круга и рассмотрим w =
(z−a)/(1−¯az) как функцию переменной a, |a| < 1, т. е. рассмотрим функцию
w = f(a) :=
z − a
1 − ¯az
, |a| < 1,
при фиксированном z, |z| < 1.
Показать, что получаемое таким образом отображение является квази-
конформным.
Указание. Покажите прямыми вычислениями, что f(a
1
) 6= f(a
2
) для a
1
6=
a
2
(a
1
, a
2
∈ D). Кроме того, простые вычисления дают
f
¯a
=
z − a
(1 − ¯az)
2
z,
f
a
=
−1
1 − ¯az
.
Следовательно,
f
¯a
f
a
= −
z − a
1 − ¯az
z = µ(a).
Отображение f : { a : |a| < 1} → {w : |w| < 1} является квазиконформным,
причем |µ(a)| ≤ |z| = k < 1.
3) Докажите, что не существует K-квазиконформного отображения еди-
ничного круга на всю плоскость.
4) Докажите аналог теоремы Каратеодори граничном соответствии для
K-квазиконформных отображений плоских областей.
9.4. Задачи и упражнения                                                 97

и построенное нами отображение является квазиконформным с коэффици-
ентом
                                1 + 13
                           K=          = 2.
                                1 − 13

    2) Как хорошо известно, конформное отображение круга |z| < 1 на круг
|w| < 1 дается функцией
                                    z−a
                               w=          ,
                                   1 − āz
где a — постоянная, |a| < 1.

    Зафиксируем теперь z как точку единичного круга и рассмотрим w =
(z −a)/(1−āz) как функцию переменной a, |a| < 1, т. е. рассмотрим функцию
                                        z−a
                        w = f (a) :=            ,     |a| < 1,
                                        1 − āz
при фиксированном z, |z| < 1.

   Показать, что получаемое таким образом отображение является квази-
конформным.

   Указание. Покажите прямыми вычислениями, что f (a1 ) 6= f (a2 ) для a1 6=
a2 (a1 , a2 ∈ D). Кроме того, простые вычисления дают
                                          z−a
                                fā =              z,
                                        (1 − āz)2

                                            −1
                                  fa =            .
                                          1 − āz
Следовательно,
                           fā    z−a
                               =−         z = µ(a).
                           fa     1 − āz
Отображение f : {a : |a| < 1} → {w : |w| < 1} является квазиконформным,
причем |µ(a)| ≤ |z| = k < 1.

   3) Докажите, что не существует K-квазиконформного отображения еди-
ничного круга на всю плоскость.

  4) Докажите аналог теоремы Каратеодори граничном соответствии для
K-квазиконформных отображений плоских областей.

Страницы