Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 99 стр.

Глава 10

Приложения к неравенствам
Харди

   Для решения краевых задач математической физики разработан ряд об-
щих методов. Центральное место среди них занимает вариационный подход.
Он основан на интегральных неравенствах, справедливых для всех функ-
ций, которые принадлежат подходящему пространству Соболева в заданной
области Ω из евклидова пространства Rn (n ≥ 2). Известен ряд классов вари-
ационных неравенств, связанных с именами Стеклова, Пуанкаре, Фридрихса,
Соболева, Харди и других.
   Главная трудность при исследовании вариационных неравенств состоит в
оценках констант, точнее, специальных функционалов области Ω, зависящих
также от числовых параметров задачи. Существование конечных констант
означает ограниченность норм соответствующих операторов вложения, и это
требование приводит к "сортировке" областей Ω, точнее, к описанию "хоро-
ших" областей, для которых соответствующая задача математической фи-
зики имеет решение.
   Пусть Ω – область на плоскости C, C0∞ (Ω) – пространство бесконечно
дифференцируемых функций f , имеющих компактные в Ω носители, т.е. об-
ращающихся в нуль вблизи границы области. Нам также потребуется вели-
чина δ = dist (z, ∂Ω) — расстояние от точки z = x + iy ∈ Ω до границы
области.
   Хорошо известно, что для любой ограниченной области Ω существует ко-
нечная постоянная c(Ω) в неравенстве Пуанкаре
             ZZ                     ZZ
                      2
                  |f | dx dy ≤ c(Ω)    |∇f |2 dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω) .
              Ω                   Ω

Но известно, что имеются и неограниченные области, для которых существу-

                                      99