Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.1. Неравенство Харди на луче и в областях на плоскости 101
т. е. не может быть уменьшена; если же p = 1, то это неравенство пре-
вращается в равенство, точнее, в следующее функциональное тождество
Z
∞
0
f(t)
t
s
dt =
1
s − 1
Z
∞
0
f
0
(t)
t
s−1
dt,
справедливое для всех допустимых функций.
Различные доказательства этой теоремы можно найти в книге [13], там
же подробно обсуждаются и наиболее важные частные случаи: a) p = s = 2,
b) p = s > 1 и не охваченный нашей формулировкой случай c) p ≥ 1, s < 1,
а также тонкие вопросы о точности констант при отсутствии экстремальных
функций.
При доказательстве теоремы Харди можно ограничиться функциями
f ∈ C
∞
0
(0, ∞), затем замкнуть класс допустимых функций при условии
f
0
/t
s/p−1
∈ L
p
(0, ∞). С учетом этого обстоятельства прямым аналогом теоре-
мы 10.1 является следующее утверждение.
Теорема 10.2. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть 1 ≤ p < ∞ и 2 < s < ∞, и
пусть Ω – открытое собственное подмножество C. Тогда имеет место
неравенство
ZZ
Ω
|f|
p
δ
s
dx dy ≤
µ
p
s − 2
p
ZZ
Ω
|∇f|
p
δ
s−p
dx dy ∀f ∈ C
∞
0
(Ω), (10.2)
где δ = δ(z) = dist(z, ∂Ω). Существуют области, для которых постоянная
(p/(s − 2))
p
не может быть уменьшена.
Доказательство теоремы 10.2. Без ограничения общности можно счи-
тать, что Ω – область, т. е. открытое связное подмножество C.
Шаг 1. Упростим немного задачу, а именно, покажем, что достаточно
ограничиться рассмотрением областей специального вида, составленных из
"квадратиков" со сторонами, параллельными осям координат и с одинако-
выми длинами сторон.
С этой целью для h ∈ (0, 1) рассмотрим стандартное покрытие R
2
квад-
ратами
Q
h,w
= [0, h] ×[0, h] + hw, w ∈ Z
2
⊂ R
2
.
Определим конечное множество индексов
Z
2
(Ω, h) = {w ∈ Z
2
: Q
h,w
⊂ Ω ∩{w ∈ C : |w| < 1/h}}
и следующую аппроксимацию Ω:
Ω
h
= int ∪
w∈Z
2
(Ω,h)
Q
h,w
.
10.1. Неравенство Харди на луче и в областях на плоскости                101

т. е. не может быть уменьшена; если же p = 1, то это неравенство пре-
вращается в равенство, точнее, в следующее функциональное тождество
                    Z ∞                  Z ∞ 0
                         f (t)        1     f (t)
                            s
                               dt =               dt,
                      0   t         s − 1 0 ts−1
справедливое для всех допустимых функций.
     Различные доказательства этой теоремы можно найти в книге [13], там
же подробно обсуждаются и наиболее важные частные случаи: a) p = s = 2,
b) p = s > 1 и не охваченный нашей формулировкой случай c) p ≥ 1, s < 1,
а также тонкие вопросы о точности констант при отсутствии экстремальных
функций.
     При доказательстве теоремы Харди можно ограничиться функциями
f ∈ C0∞ (0, ∞), затем замкнуть класс допустимых функций при условии
f 0 /ts/p−1 ∈ Lp (0, ∞). С учетом этого обстоятельства прямым аналогом теоре-
мы 10.1 является следующее утверждение.
Теорема 10.2. (Ф. Г. Авхадиев [16]). Пусть 1 ≤ p < ∞ и 2 < s < ∞, и
пусть Ω – открытое собственное подмножество C. Тогда имеет место
неравенство
       ZZ                 µ       ¶p Z Z
            |f |p             p            |∇f |p
               s
                  dx dy ≤                     s−p
                                                  dx dy ∀f ∈ C0∞ (Ω), (10.2)
          Ω  δ              s − 2        Ω  δ
где δ = δ(z) = dist(z, ∂Ω). Существуют области, для которых постоянная
(p/(s − 2))p не может быть уменьшена.
   Доказательство теоремы 10.2. Без ограничения общности можно счи-
тать, что Ω – область, т. е. открытое связное подмножество C.
   Шаг 1. Упростим немного задачу, а именно, покажем, что достаточно
ограничиться рассмотрением областей специального вида, составленных из
"квадратиков" со сторонами, параллельными осям координат и с одинако-
выми длинами сторон.
   С этой целью для h ∈ (0, 1) рассмотрим стандартное покрытие R2 квад-
ратами
                 Qh,w = [0, h] × [0, h] + hw,  w ∈ Z2 ⊂ R2 .
Определим конечное множество индексов

           Z2 (Ω, h) = {w ∈ Z2 : Qh,w ⊂ Ω ∩ {w ∈ C : |w| < 1/h}}

и следующую аппроксимацию Ω:

                          Ωh = int ∪w∈Z2 (Ω,h) Qh,w .

Страницы