Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10.1. Неравенство Харди на луче и в областях на плоскости 103
Рис. 10.1: Разбиение простейшей невыпуклой области, составленной из квад-
ратиков
Шаг 3. Докажем теперь некоторые неравенства типа Харди для каждого
множества Q(S) 6= ∅ в отдельности, и затем просуммируем.
При вычислении интегралов по Q(S) 6= ∅ будем иметь в виду, что функция
f обращается в нуль на множестве S. Кроме того, каждое множество Q(S) 6=
∅ с точностью до движения на евклидовой плоскости, т. е. с точностью до
сдвига и вращения можно представить в следующем виде:
Q(S) = {z = x + ir ∈ C : 0 < x < 1, 0 < r ≤ ϕ
1
(x)}
в случае, когда S — сторона квадрата, и
Q(S) = {z = re
iθ
∈ C : 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 < r = |z| ≤ ϕ
0
(θ)}
в случае, когда S = {0} — вершина квадрата.
10.1. Неравенство Харди на луче и в областях на плоскости            103




Рис. 10.1: Разбиение простейшей невыпуклой области, составленной из квад-
ратиков




   Шаг 3. Докажем теперь некоторые неравенства типа Харди для каждого
множества Q(S) 6= ∅ в отдельности, и затем просуммируем.
   При вычислении интегралов по Q(S) 6= ∅ будем иметь в виду, что функция
f обращается в нуль на множестве S. Кроме того, каждое множество Q(S) 6=
∅ с точностью до движения на евклидовой плоскости, т. е. с точностью до
сдвига и вращения можно представить в следующем виде:

            Q(S) = {z = x + ir ∈ C : 0 < x < 1, 0 < r ≤ ϕ1 (x)}

в случае, когда S — сторона квадрата, и

         Q(S) = {z = reiθ ∈ C : 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 < r = |z| ≤ ϕ0 (θ)}

в случае, когда S = {0} — вершина квадрата.

Страницы