Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9.3. Основной гомеоморфизм уравнения Бельтрами 95
Тогда существует гомеоморфизм
q : C → C
расширенной плоскости на себя, обладающее свойствами:
1) отображение q является конформным в области C \ Ω и q(∞) = ∞;
2) q имеет локально интегрируемые с квадратом обобщенные производ-
ные в смысле Соболева в Ω и удовлетворяет уравнению Бельтрами q
¯z
= ˜µq
z
.
Отображение q : C → C называется основным гомеоморфизмом уравне-
ния Бельтрами. Нетрудно доказывается следующее утверждение.
Теорема 9.3. Пусть Ω — область, ограниченная спрямляемой кривой Жор-
дана, и пусть f — непрерывная функция, обладающая локально интегриру-
емыми с квадратом обобщенными производными в смысле Соболева и удо-
влетворяющая уравнению Бельтрами
f
¯z
= µ(z)f
z
, z ∈ Ω,
с условием
|µ(z)| ≤ k = const < 1, z ∈ Ω.
Тогда f может быть представлена как суперпозиция аналитической функ-
ции и основного гомеоморфизма, т. е. справедливо представление
f(z) = Φ(q(z)), z ∈ Ω,
где Φ – функция, аналитическая в области Ω
1
= q(Ω).
Доказательство. Пусть f – любое непрерывное решение уравнения
Бельтрами, обладающее локально интегрируемыми с квадратом обобщенны-
ми производными в смысле Соболева и удовлетворяющее уравнению Бель-
трами f
¯z
= µ(z)f
z
, z ∈ Ω. Определим функцию Φ равенством
f(z) = Φ(q(z)),
т. е. соотношениями
Φ(w) = f(q
−1
(w)), w = q(z).
Легко получаем, что Φ — аналитическая функция, так как для нее выполня-
ются условия Коши-Римана Φ
¯q
= 0 в силу следующих простых вычислений.
9.3. Основной гомеоморфизм уравнения Бельтрами                         95

Тогда существует гомеоморфизм

                                 q:C→C

расширенной плоскости на себя, обладающее свойствами:
   1) отображение q является конформным в области C \ Ω и q(∞) = ∞;
   2) q имеет локально интегрируемые с квадратом обобщенные производ-
ные в смысле Соболева в Ω и удовлетворяет уравнению Бельтрами qz̄ = µ̃qz .

   Отображение q : C → C называется основным гомеоморфизмом уравне-
ния Бельтрами. Нетрудно доказывается следующее утверждение.


Теорема 9.3. Пусть Ω — область, ограниченная спрямляемой кривой Жор-
дана, и пусть f — непрерывная функция, обладающая локально интегриру-
емыми с квадратом обобщенными производными в смысле Соболева и удо-
влетворяющая уравнению Бельтрами

                           fz̄ = µ(z)fz ,    z ∈ Ω,

с условием
                      |µ(z)| ≤ k = const < 1,     z ∈ Ω.
Тогда f может быть представлена как суперпозиция аналитической функ-
ции и основного гомеоморфизма, т. е. справедливо представление

                         f (z) = Φ(q(z)),     z ∈ Ω,

где Φ – функция, аналитическая в области Ω1 = q(Ω).


   Доказательство. Пусть f – любое непрерывное решение уравнения
Бельтрами, обладающее локально интегрируемыми с квадратом обобщенны-
ми производными в смысле Соболева и удовлетворяющее уравнению Бель-
трами fz̄ = µ(z)fz , z ∈ Ω. Определим функцию Φ равенством

                              f (z) = Φ(q(z)),

т. е. соотношениями

                      Φ(w) = f (q −1 (w)),    w = q(z).

Легко получаем, что Φ — аналитическая функция, так как для нее выполня-
ются условия Коши-Римана Φq̄ = 0 в силу следующих простых вычислений.

Страницы