Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

94 Глава 9. Квазиконформные отображения
с коэффициентом µ(z), удовлетворяющим условию непрерывности (или из-
меримости, как минимум) и неравенству
|µ(z)| < 1 ∀z ∈ Ω.
В стандартной теории рассматривается случай, когда |µ(z)| ≤ k = const, k <
1. Тогда f — K-квазиконформное отображение, причем
K =
1 + k
1 − k
.
Предположим, что решение уравнения Бельтрами удовлетворяет условию
f
z
6= 0. Тогда
J = |f
z
|
2
− |f
¯z
|
2
= |f
z
|
2
− |µf
z
|
2
= |f
z
|
2
(1 − µ
2
) > 0,
следовательно, отображение сохраняет ориентацию.
9.3 Основной гомеоморфизм уравнения Бель-
трами
Рассмотрим теперь решения f и q уравнений Бельтрами соответственно
в некоторой ограниченной области Ω
f
¯z
= µ(z)f
z
, |µ(z)| ≤ k = const < 1, z ∈ Ω,
и, одновременно с этим, во всей плоскости C
q
¯z
= ˜µ(z)q
z
, z ∈ C,
где
˜µ(z) = {µ(z), z ∈ Ω; 0, z ∈ C \ Ω},
т. е. мы пользуемся специальным продолжением коэффициента уравнения.
Справедливо следующее утверждение, доказанное Л. Альфорсом и И. Н.
Векуа (см. [5]).
Теорема 9.2. Пусть коэффициент ˜µ(z) является измеримой функцией,
удовлетворяющей в ограниченной области Ω неравенству
|µ(z)| ≤ k = const < 1, z ∈ Ω.
94                                   Глава 9. Квазиконформные отображения

с коэффициентом µ(z), удовлетворяющим условию непрерывности (или из-
меримости, как минимум) и неравенству

                                |µ(z)| < 1 ∀z ∈ Ω.

В стандартной теории рассматривается случай, когда |µ(z)| ≤ k = const, k <
1. Тогда f — K-квазиконформное отображение, причем
                                           1+k
                                    K=         .
                                           1−k
Предположим, что решение уравнения Бельтрами удовлетворяет условию
fz 6= 0. Тогда

            J = |fz |2 − |fz̄ |2 = |fz |2 − |µfz |2 = |fz |2 (1 − µ2 ) > 0,

следовательно, отображение сохраняет ориентацию.



9.3    Основной гомеоморфизм уравнения Бель-
       трами
   Рассмотрим теперь решения f и q уравнений Бельтрами соответственно
в некоторой ограниченной области Ω

               fz̄ = µ(z)fz ,    |µ(z)| ≤ k = const < 1,        z ∈ Ω,

и, одновременно с этим, во всей плоскости C

                             qz̄ = µ̃(z)qz ,     z ∈ C,

где
                    µ̃(z) = {µ(z), z ∈ Ω;        0, z ∈ C \ Ω},
т. е. мы пользуемся специальным продолжением коэффициента уравнения.
    Справедливо следующее утверждение, доказанное Л. Альфорсом и И. Н.
Векуа (см. [5]).


Теорема 9.2. Пусть коэффициент µ̃(z) является измеримой функцией,
удовлетворяющей в ограниченной области Ω неравенству

                        |µ(z)| ≤ k = const < 1,        z ∈ Ω.

Страницы