Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 92 стр.

92                                  Глава 9. Квазиконформные отображения

   A) квазиконформно в точке a ∈ Ω, если для этой точки существует вели-
чина K(a) < +∞;
   B) квазиконформно в области Ω, если оно квазиконформно в каждой точ-
ке этой области;
   C) K-квазиконформно в области Ω (K = const ≥ 1), если оно квазикон-
формно в этой области и sup{K(a) : a ∈ Ω} ≤ K.
   Рассмотрим частный случай, когда n = 2, f – конформное отображение
области Ω. Для обозначения точек будем пользоваться комплексными числа-
ми z = x1 + ix2 , a = a1 + ia2 ∈ Ω. Поскольку в достаточно малой окрестности
любой точки a ∈ Ω имеем представление
              f (z) − f (a) = f 0 (a)(z − a) + o(z − a),   f 0 (a) 6= 0,
то легко получаем
                 max|z−a|=r |f (z) − f (a)|
      K(a) = lim                            = lim(1 + O(r)) = 1 ∀a ∈ Ω.
             r→0 min|z−a|=r |f (z) − f (a)|   r→0

Можно доказать и обратное утверждение: если
                               K(a) = 1 ∀a ∈ Ω,
то f – конформное отображение области Ω. Таким образом, любое 1-
квазиконформное отображение области является, в действительности, кон-
формным отображением этой области.
    Следует сразу отметить, что для конформных отображений простран-
ственный случай n ≥ 3 существенно отличается от плоского случая n = 2.
    В пространственном случае конформные отображения областей также су-
ществуют. Например, конформными являются отображения, которые можно
представить как суперпозицию отображений вида f (x) = cx + d (c = const 6=
0, d – фиксированная точка) и четного числа инверсий относительно сфер
и (или) плоскостей. Такие отображения называются мёбиусовыми. В плос-
ком случае мёбиусовы отображения, как известно из общего курса ТФКП,
совпадают с дробно-линейными отображениями.
    Известна следующая теорема Лиувилля.

Теорема 9.1. При n ≥ 3 любое конформное отображение области, т. е.
отображение, удовлетворяющее условию K(a) = 1 в любой точке области,
является мёбиусовым.
   Прекрасным введением в теорию конформных отображений при n ≥ 3
является курс лекций Л. Альфорса: "Преобразование Мёбиуса в многомер-
ном пространстве". По пространственным квазиконформным отображениям
и их обобщениям я рекомендую монографию Ю. Г. Решетняка [10].