Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

90 Глава 8. Приложения конформных отображений
Далее нужно воспользоваться вариационным определением жесткости кру-
чения и конформно инвариантным неравенством, полученным как следствие
теоремы 8.2 для любой функции u ∈ C
∞
0
(Ω).
7.2) Докажите точную оценку Р. Г. Салахудинова [36]: справедливо нера-
венство
P (Ω) ≥
3
2
ZZ
Ω
R
2
Ω
(x + iy) dx dy,
причем равенство в этом неравенстве в классе областей с конечной площа-
дью будет иметь место тогда и только тогда, когда рассматриваемая область
является кругом.
Указание. Воспользуйтесь формулой Г. Давенпорта или ее аналогом из
упражнения 6. Предварительно докажите следующую формулу, аналогич-
ную формуле Давенпорта: если функция z = f(ζ) =
P
∞
n=1
a
n
ζ
n
, |ζ| < 1,
осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга D на
область Ω, то
ZZ
Ω
R
2
Ω
(x + iy) dx dy = 2π
∞
X
n=2
1
n(n
2
− 1)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
[
n
2
]
X
β=1
(n − 2β + 1)
n−β
X
α=β
a
α
a
n−α
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
,
где [x] – целая часть x.
Второе доказательство оценки Р. Г. Салахудинова можно найти в [14].
90                         Глава 8. Приложения конформных отображений

Далее нужно воспользоваться вариационным определением жесткости кру-
чения и конформно инвариантным неравенством, полученным как следствие
теоремы 8.2 для любой функции u ∈ C0∞ (Ω).

   7.2) Докажите точную оценку Р. Г. Салахудинова [36]: справедливо нера-
венство                        ZZ
                             3
                     P (Ω) ≥       RΩ2 (x + iy) dx dy,
                             2 Ω
причем равенство в этом неравенстве в классе областей с конечной площа-
дью будет иметь место тогда и только тогда, когда рассматриваемая область
является кругом.
   Указание. Воспользуйтесь формулой Г. Давенпорта или ее аналогом из
упражнения 6. Предварительно докажите следующую P           формулу, аналогич-
                                                              ∞        n
ную формуле Давенпорта: если функция z = f (ζ) =              n=1 an ζ , |ζ| < 1,
осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга D на
область Ω, то
                                             ¯ n                             ¯2
    ZZ                           ∞           ¯ [2]              n−β          ¯
                                X       1    ¯X                 X            ¯
          2
         RΩ (x + iy) dx dy = 2π              ¯     (n − 2β + 1)     aα an−α ¯¯ ,
                                       2     ¯
                                    n(n − 1) ¯ β=1
       Ω                        n=2                             α=β          ¯

где [x] – целая часть x.
   Второе доказательство оценки Р. Г. Салахудинова можно найти в [14].

Страницы