Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

88 Глава 8. Приложения конформных отображений
Шварца при определении ln f
0
(ζ), об однозначности и однолистности постро-
енного конформного отображения.
Основы теории обратной задачи теории крыла можно найти в моногра-
фиях Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [12], Ф. Д. Гахова [6].
8.5 Задачи и упражнения
1) По заданному комплексному потенциалу течения постройте схематично
эквипотенциальные линии и линии тока, определите скорость и ее критиче-
ские точки, если a) w = (α + iβ)z; b) w =
Γ+iQ
2πi
ln z; c) w =
1
z
.
2) Найдите комплексный потенциал w = w (z) потока, обтекающего еди-
ничный круг, со следующими данными: z = e
iα
– точка разветвления потока
(α ∈ (0, 2π)), z = 1 – точка схода потока, скорость набегающего потока, т. е.
скорость потока в бесконечно удаленной точке w
0
(∞) = v
∞
> 0.
Указание. Исследуйте функцию вида
w = v
∞
µ
z +
1
z
+
Γ
2πi
ln z, 0 < Γ < 4πv
∞
.
3) Пользуясь решением предыдущей задачи и однолистными конформны-
ми отображениями из класса Σ, найдите комплексные потенциалы w = w(z)
потоков, обтекающих компакты, отличные от единичного круга. В частно-
сти, найдите в явном виде комплексный потециал потока вне наклоннного
отрезка [i, a], a > 0.
4) Найдите общее решение следующей краевой задачи (задачи A
0
по тер-
минологии Ф.Д. Гахова): пусть Ω – односвязная область на плоскости, огра-
ниченная замкнутой жордановой кривой L, и задана точка z
0
∈ Ω. Требуется
определить функцию Q(z), аналитическую в области Ω, за исключением точ-
ки z
0
, где для нее допустим полюс порядка не выше n и действительная часть
которой непрерывна в замыкании области и на контуре L обращается в нуль.
Указание. Рассмотрите функцию ζ = ω(z), определяющую однолист-
ное конформное отображение области Ω на единичный круг с нормировкой
ω(z
0
) = 0 и ищите функцию q(ζ) = Q(ω
−1
(ζ)) в виде следующей суммы
q(ζ) =
n
X
k=−n
c
k
ζ
k
.
5) Пусть снова Ω – односвязная область на плоскости, ограниченная за-
мкнутой жордановой кривой L, и задана точка z
0
∈ Ω. Рассмотрим функцию
88                        Глава 8. Приложения конформных отображений

Шварца при определении ln f 0 (ζ), об однозначности и однолистности постро-
енного конформного отображения.
   Основы теории обратной задачи теории крыла можно найти в моногра-
фиях Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [12], Ф. Д. Гахова [6].


8.5    Задачи и упражнения
   1) По заданному комплексному потенциалу течения постройте схематично
эквипотенциальные линии и линии тока, определите скорость и ее критиче-
ские точки, если a) w = (α + iβ)z; b) w = Γ+iQ    2πi
                                                      ln z; c) w = z1 .
   2) Найдите комплексный потенциал w = w(z) потока, обтекающего еди-
ничный круг, со следующими данными: z = eiα – точка разветвления потока
(α ∈ (0, 2π)), z = 1 – точка схода потока, скорость набегающего потока, т. е.
скорость потока в бесконечно удаленной точке w0 (∞) = v∞ > 0.
   Указание. Исследуйте функцию вида
                          µ       ¶
                                1      Γ
                  w = v∞ z +        +     ln z, 0 < Γ < 4πv∞ .
                                z     2πi
   3) Пользуясь решением предыдущей задачи и однолистными конформны-
ми отображениями из класса Σ, найдите комплексные потенциалы w = w(z)
потоков, обтекающих компакты, отличные от единичного круга. В частно-
сти, найдите в явном виде комплексный потециал потока вне наклоннного
отрезка [i, a], a > 0.

   4) Найдите общее решение следующей краевой задачи (задачи A0 по тер-
минологии Ф.Д. Гахова): пусть Ω – односвязная область на плоскости, огра-
ниченная замкнутой жордановой кривой L, и задана точка z0 ∈ Ω. Требуется
определить функцию Q(z), аналитическую в области Ω, за исключением точ-
ки z0 , где для нее допустим полюс порядка не выше n и действительная часть
которой непрерывна в замыкании области и на контуре L обращается в нуль.
   Указание. Рассмотрите функцию ζ = ω(z), определяющую однолист-
ное конформное отображение области Ω на единичный круг с нормировкой
ω(z0 ) = 0 и ищите функцию q(ζ) = Q(ω −1 (ζ)) в виде следующей суммы
                                       n
                                       X
                              q(ζ) =          ck ζ k .
                                       k=−n



   5) Пусть снова Ω – односвязная область на плоскости, ограниченная за-
мкнутой жордановой кривой L, и задана точка z0 ∈ Ω. Рассмотрим функцию

Страницы