Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 87 стр.

8.4. Обратная краевая задача теории крыла                                           87

   Функцию s = s(γ) можно определить из равенства

                   Φ(γ) = ϕ(s),        0 ≤ γ ≤ 2π, 0 ≤ s ≤ l.

   Поскольку на границах ds = |dz|, dγ = |deiγ | = |dζ|, граничные значения
модуля производной функции z = f (ζ) определятся формулой
                   ¯ ¯
                   ¯ dz ¯
                   ¯ ¯ = |f 0 (eiγ | = s0 (γ), 0 ≤ γ ≤ 2π.
                   ¯ dζ ¯

Поэтому по формуле Шварца
                                       Z       2π
                        0          1                            eiγ + ζ
             κ(ζ) := ln f (ζ) = −                   ln s0 (γ)           d γ + iα.
                                  2π       0                    eiγ − ζ
   Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 8.5. Если обратная краевая задача по построению крыла по за-
данному распределению скорости разрешима, то конформное отображение
внешности единичного круга на область течения вокруг искомого крыла
определяется формулой
                       Z ζ    ½     Z 2π                    ¾
                    iα            1          0   eiγ + t
     f (ζ) = z1 + e        exp −         ln s (γ) iγ     d γ dt, |ζ| > 1.
                        1        2π 0            e −t
     Эти рассуждения подсказывают и путь решения задачи.
     Во-первых, задание схемы течения означает, что известны дуговые абс-
циссы s = s0 и s = 0 точек разветвления и схода потока, а это позволя-
ет определить граничные значения ϕ(s) потенциала по известному модулю
|ϕ0 (s)| = v(s) его производной.
     Во-вторых, прямая задача описания течения вне единичного круга ре-
шается явными формулами и с точностью до выбора некоторых числовых
параметров заранее известна функция Φ(ξ, η) в области D− , следователь-
но, известны граничные значения Φ(γ), 0 ≤ γ ≤ 2π. Поэтому из равен-
ства Φ(γ) = ϕ(s), 0 ≤ γ ≤ 2π, 0 ≤ s ≤ l, определятся функции s = s(γ) и
ln s0 (γ) = Re κ(eiγ ).
     Но тогда по формулам, приведенным выше, можно найти ln f 0 (ζ), f (ζ), и
искомая область Ω−                              −
                       z определится как образ D при конформном отображе-
нии f : D− → Ω−   z.
     Мы оставили в стороне подробное обсуждение ряда важных и тонких
вопросов по этой задаче, в частности, вопрос о целесообразном выборе зада-
ваемой функции |ϕ0 (s)| = v(s), о выборе числовых параметров при определе-
нии Φ(ξ, η), об условиях, гарантирующих законность применения формулы