Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 86 стр.

86                        Глава 8. Приложения конформных отображений




                       Рис. 8.1: Обтекание крыла K



и требуется построить такое крыло, распределение скорости течения на ко-
тором совпадает с заданной функцией v(s).
    Предположим, что задача решена, т. е. известен искомый профиль крыла
K. Тогда известна кривая Lz с уравнением z = z(s), 0 ≤ s ≤ l, область
Ω−z – внешность связного компакта K, содержащая бесконечно удаленную
точку и ограниченная кусочно-гладкой кривой Lz . Пусть z0 = z(s0 ) – точка
разветвления потока, а z1 = z(0) – точка схода потока с профиля, ϕ(x, y) –
потенциал поля скоростей потока вне крыла.
    Рассмотрим конформное отображение f : D− → Ω−     z внешности единич-
ного круга D− на область Ω−z с нормировками:   f (∞) = ∞, f (1) = z0 . Пусть
ζ = ξ + iη, с помощью конформной замены z = f (ζ) переменных определим
функцию Φ(ξ, η) равенством

                             Φ(ξ, η) = ϕ(x, y),

где x = x(ξ, η) = Re f (ξ + iη), y = y(ξ, η) = Im f (ξ + iη). Функция
Φ(ξ, η) = ϕ(x(ξ, η), y(ξ, η)) в области D− удовлетворяет уравнению Лапла-
са ∆Φ = 0 и однородному граничному условию Неймана. Следовательно,
функция Φ представляет собой потенциал поля скоростей потока, обтекаю-
щего единичный круг по той же схеме, что и искомый профиль.
   Соответствие границ Lz и единичной окружности при конформном отоб-
ражении f : D− → Ω−   z может быть описано как соответствие s = s(γ) между
дуговой абсциссой s, 0 ≤ s ≤ l, и полярным углом γ, 0 ≤ γ ≤ 2π. Обозначим
ϕ(s(γ)) = Φ(γ) – граничные значения потенциалов течения.