Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

84 Глава 8. Приложения конформных отображений
Это выражение упрощается с учетом того, что вещественная и мнимая части
голоморфной функции являются гармоническими функциями, как следствие
справедливы тождества
∂ϕ
∂x
µ
∂
2
x
∂ξ
2
+
∂
2
x
∂η
2
≡ 0,
∂ϕ
∂y
µ
∂
2
y
∂ξ
2
+
∂
2
y
∂η
2
≡ 0.
Поэтому окончательная формула оказывается весьма простой, а именно,
справедливо утверждение.
Теорема 8.3. При конформной замене z = f(ζ) независимых переменных
справедлива формула
∆Φ = |f
0
(z)|
2
∆ϕ,
где Φ = ϕ ◦ f.
В частности, если ∆ϕ = 0, то ∆Φ = 0. Таким образом, при конформ-
ной замене независимых переменных гармоническая функция остается гар-
монической. Отметим также, что конформная замена переменных успешно
используется, например, в теории упругости для получения явного представ-
ления в рядах решений краевых задач. В качестве примера приведем фор-
мулу Давенпорта для интеграла от решения уравнения Пуассона ∆ϕ = −2
при нулевых граничных значениях. В этой формуле звездочка над суммами
означает, что суммирование распространяется на индексы, удовлетворяющие
равенству α + β = γ + δ.
Теорема 8.4. (H. Davenport) Пусть функция z = f(ζ) =
P
∞
n=1
a
n
ζ
n
, |ζ| < 1,
осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на
односвязную область Ω, содержащую начало координат и имеющую конеч-
ную площадь. Тогда для жесткости кручения Ω имеет место формула
P (Ω) =
π
2
∞
X
α=1
∞
X
β=1
∞
X
γ=1
∞
X
δ=1
∗
min{α, β, γ, δ}a
α
a
β
a
γ
a
δ
,
где ряд абсолютно сходится.
Вывод этой формулы содержится в книге [9], где подчеркивается, что для
абсолютной сходимости ряда необходимо какое-то дополнительное требова-
ние на область, причем конечность площади является одним из подходящих
условий. Поэтому это требование и включено нами в формулировку теоремы.
84                               Глава 8. Приложения конформных отображений

Это выражение упрощается с учетом того, что вещественная и мнимая части
голоморфной функции являются гармоническими функциями, как следствие
справедливы тождества
                       µ               ¶               µ               ¶
                  ∂ϕ       ∂ 2x ∂ 2x              ∂ϕ       ∂ 2y ∂ 2y
                                + 2        ≡ 0,                +           ≡ 0.
                  ∂x       ∂ξ 2  ∂η               ∂y       ∂ξ 2 ∂η 2

Поэтому окончательная формула оказывается весьма простой, а именно,
справедливо утверждение.

Теорема 8.3. При конформной замене z = f (ζ) независимых переменных
справедлива формула
                         ∆Φ = |f 0 (z)|2 ∆ϕ,

где Φ = ϕ ◦ f .

   В частности, если ∆ϕ = 0, то ∆Φ = 0. Таким образом, при конформ-
ной замене независимых переменных гармоническая функция остается гар-
монической. Отметим также, что конформная замена переменных успешно
используется, например, в теории упругости для получения явного представ-
ления в рядах решений краевых задач. В качестве примера приведем фор-
мулу Давенпорта для интеграла от решения уравнения Пуассона ∆ϕ = −2
при нулевых граничных значениях. В этой формуле звездочка над суммами
означает, что суммирование распространяется на индексы, удовлетворяющие
равенству α + β = γ + δ.
                                                     P
Теорема 8.4. (H. Davenport) Пусть функция z = f (ζ) = ∞        n
                                                       n=1 an ζ , |ζ| < 1,
осуществляет однолистное конформное отображение единичного круга на
односвязную область Ω, содержащую начало координат и имеющую конеч-
ную площадь. Тогда для жесткости кручения Ω имеет место формула
                             ∞ ∞ ∞ ∞ ∗
                          π XXXX
                  P (Ω) =                   min{α, β, γ, δ}aα aβ aγ aδ ,
                          2 α=1 β=1 γ=1 δ=1

где ряд абсолютно сходится.

   Вывод этой формулы содержится в книге [9], где подчеркивается, что для
абсолютной сходимости ряда необходимо какое-то дополнительное требова-
ние на область, причем конечность площади является одним из подходящих
условий. Поэтому это требование и включено нами в формулировку теоремы.

Страницы