Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8.3. Конформная "пересадка" краевых задач 83
конформной замены переменных на какую-нибудь простую область (единич-
ный круг, полуплоскость, полукруг, внешность разреза, полоса, прямоуголь-
ник или какая-то иная, простая область с известной функцией Грина со-
ответствующей краевой задачи). Для этого необходимо произвести замену
переменных в дифференциальном уравнении, заданном внутри области, а
также преобразовать граничные условия.
В качестве примера рассмотрим преобразование оператора Лапласа при
конформной замене независимых переменных. Пусть z = x + iy, ζ = ξ + iη,
функция ϕ(x, y) определена в области Ω
z
, и пусть f : Ω
ζ
→ Ω
z
– однолистное
конформное отображение области Ω
ζ
плоскости переменной ζ на область Ω
z
плоскости переменной z.
Предположим, что функция ϕ(x, y) является дважды непрерывно диф-
ференцируемой. Рассмотрим в области Ω
ζ
переменной ζ = ξ + iη функцию
Φ(ξ, η), определенную равенством
Φ(ξ, η) = ϕ(x, y),
где
x = x(ξ, η) = Re f(ξ + iη), y = y(ξ, η) = Im f(ξ + iη).
Найдем связь между лапласианами
∆ϕ =
∂
2
ϕ
∂x
2
+
∂
2
ϕ
∂y
2
, ∆Φ =
∂
2
Φ
∂ξ
2
+
∂
2
Φ
∂η
2
двух функций, получаемых одна из другой конформной заменой независи-
мых переменных.
Непосредственными вычислениями получаем
∂Φ
∂ξ
=
∂ϕ
∂x
∂x
∂ξ
+
∂ϕ
∂y
∂y
∂ξ
и
∂
2
Φ
∂ξ
2
=
∂
2
ϕ
∂x
2
µ
∂x
∂ξ
2
+
∂ϕ
∂x
∂
2
ϕ
∂ξ
2
+
∂
2
ϕ
∂y
2
µ
∂y
∂ξ
2
+ 2
∂
2
ϕ
∂x∂y
∂x
∂ξ
∂y
∂ξ
+
∂ϕ
∂y
∂
2
y
∂ξ
2
.
Аналогично, будем иметь
∂
2
Φ
∂η
2
=
∂
2
ϕ
∂x
2
µ
∂x
∂η
2
+
∂ϕ
∂x
∂
2
x
∂η
2
+ 2
∂
2
ϕ
∂x∂y
∂x
∂η
∂y
∂η
+
∂
2
ϕ
∂y
2
µ
∂y
∂η
2
+
∂ϕ
∂y
∂
2
y
∂η
2
,
следовательно,
∆Φ =
∂
2
ϕ
∂x
2
|f
0
(ζ)|
2
+
∂
2
ϕ
∂y
2
|f
0
(ζ)|
2
+
∂ϕ
∂x
µ
∂
2
x
∂ξ
2
+
∂
2
x
∂η
2
+
∂ϕ
∂y
µ
∂
2
y
∂ξ
2
+
∂
2
y
∂η
2
.
8.3. Конформная "пересадка" краевых задач                                                                  83

конформной замены переменных на какую-нибудь простую область (единич-
ный круг, полуплоскость, полукруг, внешность разреза, полоса, прямоуголь-
ник или какая-то иная, простая область с известной функцией Грина со-
ответствующей краевой задачи). Для этого необходимо произвести замену
переменных в дифференциальном уравнении, заданном внутри области, а
также преобразовать граничные условия.

   В качестве примера рассмотрим преобразование оператора Лапласа при
конформной замене независимых переменных. Пусть z = x + iy, ζ = ξ + iη,
функция ϕ(x, y) определена в области Ωz , и пусть f : Ωζ → Ωz – однолистное
конформное отображение области Ωζ плоскости переменной ζ на область Ωz
плоскости переменной z.
   Предположим, что функция ϕ(x, y) является дважды непрерывно диф-
ференцируемой. Рассмотрим в области Ωζ переменной ζ = ξ + iη функцию
Φ(ξ, η), определенную равенством
                                        Φ(ξ, η) = ϕ(x, y),
где
              x = x(ξ, η) = Re f (ξ + iη), y = y(ξ, η) = Im f (ξ + iη).
Найдем связь между лапласианами
                                   ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ                       ∂ 2Φ ∂ 2Φ
                        ∆ϕ =           + 2,          ∆Φ =               +
                                   ∂x2  ∂y                         ∂ξ 2   ∂η 2
двух функций, получаемых одна из другой конформной заменой независи-
мых переменных.
   Непосредственными вычислениями получаем
                                      ∂Φ   ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y
                                         =       +
                                      ∂ξ   ∂x ∂ξ   ∂y ∂ξ
и
                    µ        ¶2                      µ        ¶2
      ∂ 2Φ   ∂ 2ϕ       ∂x          ∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ       ∂y              ∂ 2 ϕ ∂x ∂y ∂ϕ ∂ 2 y
           =                      +         + 2                    +2               +         .
      ∂ξ 2   ∂x2        ∂ξ          ∂x ∂ξ 2  ∂y          ∂ξ             ∂x∂y ∂ξ ∂ξ    ∂y ∂ξ 2
Аналогично, будем иметь
                µ ¶2                                   µ ¶2
    ∂ 2Φ   ∂ 2 ϕ ∂x     ∂ϕ ∂ 2 x      ∂ 2 ϕ ∂x ∂y ∂ 2 ϕ ∂y    ∂ϕ ∂ 2 y
         =           +           + 2             +          +          ,
    ∂η 2   ∂x2 ∂η       ∂x ∂η 2      ∂x∂y ∂η ∂η    ∂y 2 ∂η    ∂y ∂η 2
следовательно,
                                                     µ                  ¶          µ               ¶
         ∂ 2ϕ 0       2   ∂2ϕ 0           ∂ϕ             ∂2x ∂ 2x             ∂ϕ       ∂2y ∂ 2y
    ∆Φ =    2
              |f (ζ)|   +    2
                               |f (ζ)|2 +                     + 2           +              +           .
         ∂x               ∂y              ∂x             ∂ξ 2  ∂η             ∂y       ∂ξ 2 ∂η 2

Страницы