Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

82 Глава 8. Приложения конформных отображений
Если область Ω не содержит бесконечно удаленной точки, то, как след-
ствие, получаем конформно инвариантное неравенство
ZZ
Ω
|∇u(x, y)|
2
dx dy ≥
ZZ
Ω
|u(x, y)|
2
R
2
Ω
(z)
dx dy ∀u ∈ C
∞
0
(Ω),
так как
(2 − |g(z)|
2
)
(1 − |g(z)|
2
)
2
|g
0
(z)|
2
>
|g
0
(z)|
2
(1 − |g(z)|
2
)
2
=
1
R
2
Ω
(z)
.
Здесь R
Ω
(z) – конформный радиус области Ω в точке z.
Доказательство теоремы 8.2. Достаточно рассмотреть случай, когда u =
u(x, y) – вещественнозначная функция. Обозначим V = V (z) =
p
1 − |g(z)|
2
.
Сочетая первую формулу Грина
ZZ
Ω
£
u
2
∆ ln V + (∇u
2
, ∇ln V )
¤
dx dy = 0
с простым неравенством
ZZ
Ω
¡
|∇u|
2
− (∇u
2
, ∇ln V ) + u
2
|∇ln V |
2
¢
dx dy =
=
ZZ
Ω
(∇u − u ∇ln V )
2
dx dy ≥ 0,
получаем
ZZ
Ω
|∇u|
2
dx dy ≥ −
ZZ
Ω
u
2
¡
∆ ln V + |∇ln V |
2
¢
dx dy.
Это и есть утверждение теоремы, так как непосредственные вычисления по-
казывают, что
∆ ln V + |∇ln V |
2
=
∆V
V
=
4
V
∂
2
V
∂z∂z
= −
2 − |g(z)|
2
(1 − |g(z)|
2
)
2
|g
0
(z)|
2
.
8.3 Конформная "пересадка" краевых задач
Перейдем теперь к изложению некоторых применений конформных отоб-
ражений в краевых задачах. В этом пункте опишем одну общую идею, а
в следующем пункте схематично рассмотрим конкретную задачу, а именно,
обратную краевую задачу теории крыла.
Одним из эффективных методов при решении краевых задач в сложно
устроенной односвязной области является "пересадка" задачи с помощью
82                                 Глава 8. Приложения конформных отображений

   Если область Ω не содержит бесконечно удаленной точки, то, как след-
ствие, получаем конформно инвариантное неравенство
          ZZ                      ZZ
                         2            |u(x, y)|2
               |∇u(x, y)| dx dy ≥        2
                                                 dx dy ∀u ∈ C0∞ (Ω),
             Ω                       Ω RΩ (z)

так как
                       (2 − |g(z)|2 ) 0      2     |g 0 (z)|2        1
                                 2  2
                                      |g (z)| >               2 2
                                                                  = 2 .
                      (1 − |g(z)| )             (1 − |g(z)| )      RΩ (z)
Здесь RΩ (z) – конформный радиус области Ω в точке z.
   Доказательство теоремы 8.2. Достаточно рассмотреть случай,
                                                            p когда u =
u(x, y) – вещественнозначная функция. Обозначим V = V (z) = 1 − |g(z)|2 .
Сочетая первую формулу Грина
                  ZZ
                      £ 2                        ¤
                       u ∆ ln V + (∇u2 , ∇ ln V ) dx dy = 0
                           Ω

с простым неравенством
            ZZ
                ¡                                       ¢
                 |∇u|2 − (∇u2 , ∇ ln V ) + u2 |∇ ln V |2 dx dy =
                      Ω
                                  ZZ
                              =            (∇u − u ∇ ln V )2 dx dy ≥ 0,
                                       Ω
получаем
             ZZ                               ZZ
                          2
                                                         ¡                   ¢
                      |∇u| dx dy ≥ −                   u2 ∆ ln V + |∇ ln V |2 dx dy.
                  Ω                                Ω

Это и есть утверждение теоремы, так как непосредственные вычисления по-
казывают, что

                                           ∆V   4 ∂ 2V     2 − |g(z)|2
          ∆ ln V + |∇ ln V |2 =               =        =−                 |g 0 (z)|2 .
                                           V    V ∂z∂z    (1 − |g(z)|2 )2

8.3       Конформная "пересадка" краевых задач
   Перейдем теперь к изложению некоторых применений конформных отоб-
ражений в краевых задачах. В этом пункте опишем одну общую идею, а
в следующем пункте схематично рассмотрим конкретную задачу, а именно,
обратную краевую задачу теории крыла.
   Одним из эффективных методов при решении краевых задач в сложно
устроенной односвязной области является "пересадка" задачи с помощью

Страницы