Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 80 стр.

80                             Глава 8. Приложения конформных отображений

той кривой без самопересечений). Пусть, далее, f : D → Ω - конформное
отображение единичного круга D на эту область. Тогда функция f непре-
рывно продолжима на замыкание единичного круга, и граничные значения
f (eiθ ) (0 < θ ≤ 2π), полученные непрерывным продолжением, устанавлива-
ют взаимно однозначное соответствие между границами областей, т. е.
между ∂D и ∂Ω.
    По традиции, сохраняют ту же букву f для обозначения продолженного
отображения f : D → Ω. Существование продолжения означает, в частности,
существование предела
                                   lim    f (z)
                                     z→eiθ , |z|<1

для любого вещественного числа θ.
   Приведем также одну из широко используемых теорем о существовании
непрерывного продолжения на границу производной конформного отобра-
жения — теорему Келлога, ученика Д. Гильберта.
Теорема 8.1. (O. D. Kellogg, 1912.) Пусть Ω – односвязная область на плос-
кости, ограниченная замкнутой, гладкой кривой Жордана ∂Ω, s — дуговая
абсцисса ∂Ω. Если угол касательной θ(s) к границе области удовлетворяет
условию Гёльдера, т. е. ∀s1 , s2 ∈ R+
                |θ(s1 ) − θ(s2 )| ≤ k |s1 − s2 |α ,       k > 0, α ∈ (0, 1],
то производная f 0 (z) конформного отображения f : D → Ω и ln f 0 (z) непре-
рывно продолжимы на замыкание D единичного круга, ln f 0 (z) удовлетворя-
ет условию Гёльдера, т. е. ∀z1 , z2 ∈ D
                 | ln f 0 (z1 ) − ln f 0 (z2 )| ≤ k1 |z1 − z2 |α ,   k1 > 0,
и, в частности, f 0 (z) 6= 0 в D.
   В заключение отметим, что теорема о соответствии границ и теорема
Келлога, как теоремы существования непрерывных продолжений, имеют ло-
кальную природу и могут быть использованы для непрерывного продолже-
ния конформного отображения или его производной на те дуги окружности,
образы которых обладают необходимыми свойствами.


8.2     Конформно инвариантное интегральное нера-
        венство
   Производная конформного отображения f : D → Ω естественно возникает
при конформных заменах переменных в интегралах.