Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 78 стр.

78                                                Глава 7. Методы симметризации

     если Ω1 ⊂ Ω2 , то Ω∗1 ⊂ Ω∗2 ;

     если λ – положительная постоянная, то (λΩ)∗ = λΩ∗ ;

   если B – шар с центром на плоскости симметризации (или круг с центром
на прямой симметризации), то B ∗ = B.

  5) Покажите, что при симметризации по Штейнеру имеют место следую-
щие неравенства для радиусов вписанного и описанного шаров:

                                     r(Ω∗ ) ≥ r(Ω)

и
                                     R(Ω∗ ) ≤ R(Ω).
В плоском случае речь идет о радиусах r и R кругов, вписанного в область
и описанного вокруг области, соответственно.

     6) Пусть Ω1 и Ω2 – две области,

                                        Ω1 + Ω2

– сумма Минковского двух множеств, состоящая из всех точек c, которые
можно представить как (векторные) суммы a + b точек a ∈ Ω1 и b ∈ Ω2 .
   Докажите, что при симметризации по Штейнеру имеет место включение:

                                Ω∗1 + Ω∗2 ⊂ (Ω1 + Ω2 )∗ .


     7) Пользуясь теоремой 7.3, докажите теоремы 7.4 и 7.5.

     Указание. Если возникли затруднения, то обратитесь к книге [9] или [21].