Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава 7. Методы симметризации
Теорема 7.3. Пусть область Ω ⊂ R
n
ограничена кусочно-гладкой поверх-
ностью (кривой при n = 2). Пусть, далее, функция U : Ω → R является
неотрицательной и непрерывно дифференцируемой и обращается в нуль на
границе области Ω. Тогда при симметризации по Шварцу для любой непре-
рывной функции ψ : [−M, M] → R будем иметь
Z
Ω
ψ(U(x))dx =
Z
Ω
∗
ψ(U
∗
(x))dx
и, кроме того,
Z
Ω
|OU|
2
dx ≥
Z
Ω
∗
|OU
∗
|
2
dx.
Теорема 7.3 используется для доказательства ряда изопериметрических
неравенств математической физики. Приведем два классических утвержде-
ния такого вида.
Теорема 7.4. (Теорема Рэлея – Крана – Фабера.) Среди всех мембран (плос-
ких односвязных областей) с заданной площадью и закрепленными краями
наибольшую основную частоту имеет круг.
В рамках общепринятой математической модели теории звука речь идет
о неравенстве
1
λ
1
(Ω)
≤
1
λ
1
(D
ρ
)
,
где λ
1
(Ω) и λ
1
(D
ρ
) – первые собственные значения задачи Дирихле для урав-
нения Лапласа для односвязной плоской области Ω конечной площади и кру-
га D
ρ
той же площади, соответственно. Из курса математической физики
известнo следующее вариационное определение первого собственного значе-
ния:
1
λ
1
(Ω)
= sup
u∈C
∞
0
(Ω)
RR
Ω
|u|
2
dx dy
RR
Ω
|Ou|
2
dx dy
,
где C
∞
0
(Ω) – множество гладких, вещественнозначных функций u = u(x, y) с
компактными носителями, лежащими в области Ω.
Теорема 7.5. (Теорема Сен-Венана – Полиа.) Среди всех плоских односвяз-
ных областей (поперечных сечений упругих балок) с заданной площадью наи-
большую жесткость кручения имеет круг.
76                                                   Глава 7. Методы симметризации

Теорема 7.3. Пусть область Ω ⊂ Rn ограничена кусочно-гладкой поверх-
ностью (кривой при n = 2). Пусть, далее, функция U : Ω → R является
неотрицательной и непрерывно дифференцируемой и обращается в нуль на
границе области Ω. Тогда при симметризации по Шварцу для любой непре-
рывной функции ψ : [−M, M ] → R будем иметь
                      Z              Z
                         ψ(U (x))dx = ψ(U ∗ (x))dx
                       Ω                    Ω∗

и, кроме того,             Z                Z
                                   2
                               |OU | dx ≥           |OU ∗ |2 dx.
                           Ω                Ω∗

   Теорема 7.3 используется для доказательства ряда изопериметрических
неравенств математической физики. Приведем два классических утвержде-
ния такого вида.

Теорема 7.4. (Теорема Рэлея – Крана – Фабера.) Среди всех мембран (плос-
ких односвязных областей) с заданной площадью и закрепленными краями
наибольшую основную частоту имеет круг.

   В рамках общепринятой математической модели теории звука речь идет
о неравенстве
                             1         1
                                 ≤          ,
                          λ1 (Ω)   λ1 (Dρ )
где λ1 (Ω) и λ1 (Dρ ) – первые собственные значения задачи Дирихле для урав-
нения Лапласа для односвязной плоской области Ω конечной площади и кру-
га Dρ той же площади, соответственно. Из курса математической физики
известнo следующее вариационное определение первого собственного значе-
ния:                                       RR 2
                                              |u| dx dy
                              1             Ω
                                 = sup RR               ,
                           λ1 (Ω) u∈C0∞ (Ω) |Ou|2 dx dy
                                                Ω

где C0∞ (Ω) – множество гладких, вещественнозначных функций u = u(x, y) с
компактными носителями, лежащими в области Ω.

Теорема 7.5. (Теорема Сен-Венана – Полиа.) Среди всех плоских односвяз-
ных областей (поперечных сечений упругих балок) с заданной площадью наи-
большую жесткость кручения имеет круг.

Страницы