Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 75 стр.

7.3. Симметризация Шварца                                            75

   Пусть имеется непрерывная функция U : Ω → R. Рассмотрим множества

                  Ω(µ) = {x ∈ Ω : U (x) ≥ µ},           µ ∈ R.

Поскольку
                             M :=k U (x) k< ∞,
то, очевидно, Ω(µ) = ∅ для значений µ > M . Соответствующая U : Ω → R
симметризованная функция U ∗ : Ω∗ → R определяется следующим образом:

                         U ∗ (x) = sup{µ : x ∈ Ω(µ)∗ },

где Ω(µ)∗ – круг с центром в начале координат, имеющий ту же площадь,
что и область Ω(µ). Из определения следует, что симметризованная функция
является так называемой радиальной функцией, т.е. зависит лишь от |x| =
p
  x21 + x22 . В полярных координатах

                    U ∗ (r, θ1 ) = U ∗ (r, θ2 ) ∀θ1 , θ2 ∈ R.

    В силу определения интеграла Лебега для любой непрерывной функции
ψ : [−M, M ] → R будем иметь равенство
                      Z             Z
                        ψ(U (x))dx = ψ(U ∗ (x))dx.
                     Ω                  Ω∗



   Симметризация Шварца естественным образом распространяется и на
случай пространственных областей Ω ⊂ Rn , n ≥ 3. При этом симметризо-
ванная область Ω∗ ⊂ Rn – шар с центром в начале координат, имеющий тот
же объем, что и исходная область Ω. Для непрерывной функции U : Ω → R,
как и в случае n = 2, определяются множества

                  Ω(µ) = {x ∈ Ω : U (x) ≥ µ},           µ ∈ R.

и симметризованная функция

                         U ∗ (x) = sup{µ : x ∈ Ω(µ)∗ },

определенная в шаре Ω∗ ⊂ Rn . Для симметризации Шварца в плоском и
пространственных случаях справедлива