Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7.4. Задачи и упражнения 77
Вариационное определение жесткости P (Ω) кручения таково:
P (Ω) = sup
u∈C
∞
0
(Ω)
4
µ
RR
Ω
|u|dx dy
2
RR
Ω
|Ou|
2
dx dy
.
Доказательства двух последних теорем, связанные с ними исторические
сведения и развитие теории подобных проблем можно найти в книгах [9], [21],
[1]. Следует отметить, что изложенные в этой главе понятия и факты стали
уже классикой. Читателю, желающему познакомиться с развитием методов
симметризации, с современными подходами в теории симметризации и их
применениями в геометрической теории функций, я рекомендую посмотреть
статью В. Н. Дубинина [8].
7.4 Задачи и упражнения
1) Методами элементарной математики докажите два следующих утвер-
ждения:
1.1) среди всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую
площадь имеет квадрат;
1.2) правильный треугольник имеет наибольшую площадь среди всех тре-
угольников заданного периметра.
2) Постройте трехмерную область, площадь поверхности которой больше
площади поверхности ее выпуклой оболочки.
Указание. Рассмотрите трехмерное тело типа волчка с достаточно длин-
ным центральным стержнем.
3) Пользуясь схемой доказательства теоремы 7.1, докажите утверждение
S ≥ S
∗
теоремы 7.2.
Указание. Если доказательство не получается, то обратитесь к книге [9]
или [21].
4) Покажите, что при симметризации по Штейнеру имеют место следую-
щие простые правила:
7.4. Задачи и упражнения                                                    77

   Вариационное определение жесткости P (Ω) кручения таково:
                                               µ                   ¶2
                                                   RR
                                           4            |u|dx dy
                                                    Ω
                     P (Ω) =     sup           RR                       .
                               u∈C0∞ (Ω)            |Ou|2 dx dy
                                               Ω



    Доказательства двух последних теорем, связанные с ними исторические
сведения и развитие теории подобных проблем можно найти в книгах [9], [21],
[1]. Следует отметить, что изложенные в этой главе понятия и факты стали
уже классикой. Читателю, желающему познакомиться с развитием методов
симметризации, с современными подходами в теории симметризации и их
применениями в геометрической теории функций, я рекомендую посмотреть
статью В. Н. Дубинина [8].


7.4    Задачи и упражнения
  1) Методами элементарной математики докажите два следующих утвер-
ждения:

   1.1) среди всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую
площадь имеет квадрат;

   1.2) правильный треугольник имеет наибольшую площадь среди всех тре-
угольников заданного периметра.

   2) Постройте трехмерную область, площадь поверхности которой больше
площади поверхности ее выпуклой оболочки.

  Указание. Рассмотрите трехмерное тело типа волчка с достаточно длин-
ным центральным стержнем.

   3) Пользуясь схемой доказательства теоремы 7.1, докажите утверждение
S ≥ S ∗ теоремы 7.2.

   Указание. Если доказательство не получается, то обратитесь к книге [9]
или [21].

  4) Покажите, что при симметризации по Штейнеру имеют место следую-
щие простые правила:

Страницы