Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7.1. Симметризация областей относительно прямой 73
равносильное легко проверяемому неравенству b +
√
a
2
+ b
2
>
√
4b
2
+ a
2
.
Указанные во втором примере свойства площадей и периметров при сим-
метризации являются знаковыми. А именно, оказывается справедливой сле-
дующая теорема.
Теорема 7.1. При симметризации плоской области относительно прямой
площадь инвариантна, а длина границы может разве лишь уменьшиться,
т. е.
A(Ω) = A(Ω
∗
), L(Ω) ≥ L(Ω
∗
).
Инвариантность площади является следствием геометрических построе-
ний при симметризации и определения интеграла Лебега. Поэтому необхо-
димо понять лишь неравенство L
∗
≤ L. Для простоты рассмотрим случай,
когда граница области состоит из графиков двух непрерывно дифференци-
руемых функций, причем область Ω ограничена сверху графиком функции
y = y
1
(x), а снизу – графиком функции y = y
2
(x). Тогда длина границы
области определяется формулой
L = L
1
+ L
2
=
b
Z
a
s
1 +
µ
dy
1
dx
2
dx +
b
Z
a
s
1 +
µ
dy
2
dx
2
dx.
Граница симметризованной области определяется графиками функций y =
y(x), y = −y(x), где
y(x) =
y
1
(x) − y
2
(x)
2
.
Тогда длина границы симметризованной области равна
L
∗
= L
∗
1
+ L
∗
2
= 2L
∗
1
= 2
b
Z
a
s
1 +
µ
dy
dx
2
dx =
b
Z
a
p
4 + (y
0
1
(x) − y
0
2
(x))
2
dx.
Оценим подинтегральную функцию, применяя неравенство треугольника
|w
1
+ w
2
| ≤ |w
1
|+ |w
2
| к сумме комплексных чисел w
1
= 1 + iy
0
1
и w
2
= 1 −iy
0
2
.
Будем иметь: ∀x ∈ [a, b]
p
4 + (y
0
1
(x) − y
0
2
(x))
2
= |2 + i(y
0
1
(x) − y
0
2
(x))| = |w
1
+ w
2
| ≤
≤ |w
1
| + |w
2
| =
p
1 + y
0
1
(x)
2
+
p
1 + y
0
2
(x)
2
.
Следовательно,
L
∗
=
b
Z
a
p
4 + (y
0
1
(x) − y
0
2
(x))
2
dx ≤
b
Z
a
³
p
1 + y
0
1
(x)
2
+
p
1 + y
0
2
(x)
2
´
dx = L,
что и требовалось доказать.
7.1. Симметризация областей относительно прямой                                                   73
                                                                √                √
равносильное легко проверяемому неравенству b +                     a 2 + b2 >       4b2 + a2 .
   Указанные во втором примере свойства площадей и периметров при сим-
метризации являются знаковыми. А именно, оказывается справедливой сле-
дующая теорема.
Теорема 7.1. При симметризации плоской области относительно прямой
площадь инвариантна, а длина границы может разве лишь уменьшиться,
т. е.
                   A(Ω) = A(Ω∗ ),   L(Ω) ≥ L(Ω∗ ).
   Инвариантность площади является следствием геометрических построе-
ний при симметризации и определения интеграла Лебега. Поэтому необхо-
димо понять лишь неравенство L∗ ≤ L. Для простоты рассмотрим случай,
когда граница области состоит из графиков двух непрерывно дифференци-
руемых функций, причем область Ω ограничена сверху графиком функции
y = y1 (x), а снизу – графиком функции y = y2 (x). Тогда длина границы
области определяется формулой
                            s    µ     ¶2         s    µ     ¶2
                         Zb                    Zb
                                   dy1                   dy2
           L = L1 + L2 =      1+          dx +      1+          dx.
                                   dx                    dx
                                a                         a

Граница симметризованной области определяется графиками функций y =
y(x), y = −y(x), где
                                  y1 (x) − y2 (x)
                           y(x) =                 .
                                         2
Тогда длина границы симметризованной области равна
                            s     µ ¶2
                         Zb                     Zb p
    ∗     ∗   ∗      ∗              dy
   L = L1 + L2 = 2L1 = 2      1+          dx =       4 + (y10 (x) − y20 (x))2 dx.
                                    dx
                                    a                      a

Оценим подинтегральную функцию, применяя неравенство треугольника
|w1 + w2 | ≤ |w1 | + |w2 | к сумме комплексных чисел w1 = 1 + iy10 и w2 = 1 − iy20 .
Будем иметь: ∀x ∈ [a, b]
           p
             4 + (y10 (x) − y20 (x))2 = |2 + i(y10 (x) − y20 (x))| = |w1 + w2 | ≤
                                       p                 p
                    ≤ |w1 | + |w2 | = 1 + y10 (x)2 + 1 + y20 (x)2 .
Следовательно,
        Zb p                                   Z b ³p                 p            ´
 L∗ =          4 + (y10 (x) − y20 (x))2 dx ≤         1 + y10 (x)2 +    1 + y20 (x)2 dx = L,
        a                                      a

что и требовалось доказать.

Страницы