Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

72 Глава 7. Методы симметризации
Рис. 7.1: Симметризация относительно прямой
конечного или бесконечного (но счетного) множества интервалов конечной
суммарной длины
P
l
k
= y
1
. Объединение по всем x
1
∈ (a, b) прямолинейных
интервалов вида (z
1
, z
1
) , где z
1
= x
1
+ iy
1
/2 и z
1
= x
1
− iy
1
/2, и составляет
искомую область Ω
∗
, симметричную относительно оси абсцисс Ox.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Пусть Ω = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
< 1, y > 0} – полукруг. Пе-
ресечение области Ω с прямой x = x
1
∈ (−1, 1) состоит из одного интервала
длины y
1
=
p
1 − x
2
1
. Соответствующий симметризованный интервал имеет
концы в точках (x
∗
, y
∗
), (x
∗
, −y
∗
), причем
x
∗
= x
1
, y
∗
=
y
1
2
.
Поскольку x
2
1
+ y
2
1
= 1, то (x
∗
)
2
+ (y
∗
)
2
/(0, 5)
2
= 1. Таким образом, область Ω
∗
представляет собой внутренность эллипса с уравнением
x
2
+ 4y
2
= 1.
Пример 2. Пусть Ω = {(x, y) ∈ R
2
: 0 < x < a, 0 < y < b, x/a + y/b < 1} –
прямоугольный треугольник с гипотенузой c =
√
a
2
+ b
2
. В результате сим-
метризации относительно оси ординат получаем равнобедренный треуголь-
ник со сторонами a
∗
= a, b
∗
= c
∗
=
p
b
2
+ a
2
/4. Очевидно, эти два тре-
угольника имеют одинаковую площадь. Кроме того, имеет место следующее
соотношение для периметров треугольников
a + b + c > a
∗
+ b
∗
+ c
∗
,
72                                            Глава 7. Методы симметризации




                Рис. 7.1: Симметризация относительно прямой


конечного или бесконечного
                 P               (но счетного) множества интервалов конечной
суммарной длины lk = y1 . Объединение по всем x1 ∈ (a, b) прямолинейных
интервалов вида (z1 , z 1 ) , где z1 = x1 + iy1 /2 и z 1 = x1 − iy1 /2, и составляет
искомую область Ω∗ , симметричную относительно оси абсцисс Ox.

   Рассмотрим два примера.
   Пример 1. Пусть Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1, y > 0} – полукруг. Пе-
ресечение области
            p     Ω с прямой x = x1 ∈ (−1, 1) состоит из одного интервала
длины y1 = 1 − x21 . Соответствующий симметризованный интервал имеет
концы в точках (x∗ , y ∗ ), (x∗ , −y ∗ ), причем
                                                 y1
                                  x∗ = x1 , y ∗ = .
                                                 2
Поскольку x21 + y12 = 1, то (x∗ )2 + (y ∗ )2 /(0, 5)2 = 1. Таким образом, область Ω∗
представляет собой внутренность эллипса с уравнением
                                   x2 + 4y 2 = 1.

   Пример 2. Пусть Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a,√0 < y < b, x/a + y/b < 1} –
прямоугольный треугольник с гипотенузой c = a2 + b2 . В результате сим-
метризации относительно оси ординат получаем
                                       p          равнобедренный треуголь-
ник со сторонами a∗ = a, b∗ = c∗ =       b2 + a2 /4. Очевидно, эти два тре-
угольника имеют одинаковую площадь. Кроме того, имеет место следующее
соотношение для периметров треугольников
                             a + b + c > a∗ + b∗ + c∗ ,

Страницы