Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 71 стр.

Глава 7

Методы симметризации

7.1    Симметризация областей относительно пря-
       мой
    Давно было известно, что классическое изопериметрическое неравенство
достаточно установить для выпуклых областей на плоскости. Этот факт ос-
нован на следующих, весьма простых соображениях. Пусть дана невыпуклая
область, ограниченная спрямляемой кривой. Рассмотрим выпуклую оболоч-
ку этой области. Очевидно, площадь выпуклой оболочки больше, чем пло-
щадь самой невыпуклой области, а длина границы – меньше. Действительно,
при переходе к выпуклой оболочке некоторые граничные дуги заменяются
на отрезки прямых, соединяющих концы этих дуг. А в геометрии Евклида
отрезки прямых представляют собой геодезические линии, соединяющие две
заданных точки кратчайшим путем.
    Утонченное и обобщающее развитие этой идеи было найдено математи-
ками еще в XIX веке. Речь идет о специальных преобразованиях плоских
и пространственных областей под названием симметризация. К настоящему
времени придумано много полезных операций такого вида. Начнем их изуче-
ние с простейшего случая – с симметризации областей относительно прямой
на плоскости.
    Итак, пусть имеется ограниченная область Ω ⊂ R2 . Будем рассматривать
симметризацию области Ω относительно оси абсцисс на плоскости с задан-
ной декартовой системой координат. Это означает, что исходя из области Ω
строится новая область Ω∗ , симметричная относительно оси абсцисс Ox, по
следующим правилам.
    Абсциссы точек, лежащих в области, заполняют некоторый интервал
(a, b) оси Ox. Пересечение области Ω с прямой x = x1 ∈ (a, b) состоит из

                                   71