Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.5. Задачи и упражнения 69
Отметим также, что различные гипотезы и методы оценки коэффициентов
наиболее полно изложены в монографии [24], написанной за несколько лет до
появления статьи Л. де Бранжа. Более подробную информацию о различных
подтвержденных и опровергнутых гипотезах, их взаимосвязи можно найти
в нескольких публикациях, например, в статье И. А. Александрова и И. М.
Милина [4] и в главе 2 книги автора и К.-Й. Вирса [20].
В заключение приведем одно полезное обозначение. Для двух функций,
голоморфных в некоторой окрестности нуля и имеющих там разложение
f(z) =
∞
X
k=0
a
k
z
k
, g(z) =
∞
X
k=0
b
k
z
k
,
пишут
f(z) << g(z)
тогда и только тогда, когда для всех тейлоровских коэффициентов верны
неравенства
|a
k
| ≤ |b
k
|.
Так, например, гипотезу Бибербаха можно записать в виде следующего
утверждения:
если f ∈ S, то f(z) << z/(1 −z)
2
.
6.5 Задачи и упражнения
1) Пусть выполнены условия теоремы Рогозинского. Можно ли утвер-
ждать для k ≥ 1, что
|A
k
| ≤ |B
k
|?
Указание. Ищите контрпримеры.
2) Пользуясь схемой доказательства теоремы 6.4, докажите следующее
утверждение:
если f(z) = z + a
2
z
2
+ ... ∈ S
∗
, то справедливы точные оценки |a
n
| ≤ n для
всех n ≥ 2.
3) Пусть γ ∈ (−π/2, π/2) – фиксированное число. Говорят, что f является
однолистной, γ-спиралеобразной функцией и пишут f ∈ S
∗
γ
, если f ∈ S и для
всех z ∈ D выполняется неравенство
Re
µ
e
iγ
zf
0
(z)
f(z)
> 0.
6.5. Задачи и упражнения                                                       69

Отметим также, что различные гипотезы и методы оценки коэффициентов
наиболее полно изложены в монографии [24], написанной за несколько лет до
появления статьи Л. де Бранжа. Более подробную информацию о различных
подтвержденных и опровергнутых гипотезах, их взаимосвязи можно найти
в нескольких публикациях, например, в статье И. А. Александрова и И. М.
Милина [4] и в главе 2 книги автора и К.-Й. Вирса [20].

   В заключение приведем одно полезное обозначение. Для двух функций,
голоморфных в некоторой окрестности нуля и имеющих там разложение
                                 ∞
                                 X                       ∞
                                                         X
                                           k
                       f (z) =         ak z ,   g(z) =         bk z k ,
                                 k=0                     k=0

пишут
                                       f (z) << g(z)
тогда и только тогда, когда для всех тейлоровских коэффициентов верны
неравенства
                               |ak | ≤ |bk |.
Так, например, гипотезу Бибербаха можно записать в виде следующего
утверждения:
   если f ∈ S, то f (z) << z/(1 − z)2 .


6.5     Задачи и упражнения
  1) Пусть выполнены условия теоремы Рогозинского. Можно ли утвер-
ждать для k ≥ 1, что
                           |Ak | ≤ |Bk |?

   Указание. Ищите контрпримеры.

   2) Пользуясь схемой доказательства теоремы 6.4, докажите следующее
утверждение:
   если f (z) = z + a2 z 2 + ... ∈ S∗ , то справедливы точные оценки |an | ≤ n для
всех n ≥ 2.

   3) Пусть γ ∈ (−π/2, π/2) – фиксированное число. Говорят, что f является
однолистной, γ-спиралеобразной функцией и пишут f ∈ S∗γ , если f ∈ S и для
всех z ∈ D выполняется неравенство
                               µ       0
                                           ¶
                                 iγ zf (z)
                            Re e             > 0.
                                     f (z)

Страницы