Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.3. Понятие квазиподчиненности и его применения 67
Теоремы Литтлвуда и Рогозинского о подчиненных функциях и их ана-
логи для квазиподчиненных функций имеют многочисленные применения в
геометрической теории функций. В качестве примера докажем следующее
утверждение об оценках коэффициентов выпуклых функций.
Теорема 6.4. Пусть f(z) = z + a
2
z
2
+ ... ∈ S
0
. Тогда |a
n
| ≤ 1 для всех n ≥ 2.
Доказательство. Из условия f ∈ S
0
следует, что
Re
·
1 + z
f
00
(z)
f
0
(z)
¸
> 0, z ∈ D.
Обозначим
P (z) = 1 + z
f
00
(z)
f
0
(z)
и заметим, что дробь
Q =
P −1
P + 1
определяет конформное отображение правой полуплоскости Re P > 0 на еди-
ничный круг |Q| < 1, следовательно,
|Q(z)| =
¯
¯
¯
¯
P (z) − 1
P ( z) + 1
¯
¯
¯
¯
< 1, z ∈ D.
Поскольку Q(0) = 0, по лемме Шварца имеем |Q(z)| ≤ |z|, что равносильно
неравенству |P (z) − 1| ≤ |zP (z) + z|, и в конечном счете – неравенству
|f
00
(z)| ≤ |2f
0
(z) + zf
00
(z)|.
Таким образом, функция f
00
(z) квазиподчинена функции 2f
0
(z)+zf
00
(z). Вы-
числим тейлоровские коэффициенты этих функций и применим к ним обоб-
щенную теорему Рогозинского. Имеем
f
0
(z) = 1 + 2a
2
z + 3a
3
z
2
+ ..., f
00
(z) = 2a
2
+ 2 · 3a
3
z + ...,
и поэтому
2f
0
(z) + zf
00
(z) =
= 2 +
∞
X
n=2
2na
n
z
n−1
+
∞
X
n=2
n(n − 1)z
n−1
a
n
= 2 +
∞
X
n=2
n(n + 1)z
n−1
a
n
.
Записывая неравенство Рогозинского для коэффициентов, получаем
4|a
2
|
2
+ 2
2
· 3
2
|a
3
|
2
+ ... + n
2
(n + 1)
2
|a
n+1
|
2
≤
6.3. Понятие квазиподчиненности и его применения                                                    67

   Теоремы Литтлвуда и Рогозинского о подчиненных функциях и их ана-
логи для квазиподчиненных функций имеют многочисленные применения в
геометрической теории функций. В качестве примера докажем следующее
утверждение об оценках коэффициентов выпуклых функций.

Теорема 6.4. Пусть f (z) = z + a2 z 2 + ... ∈ S0 . Тогда |an | ≤ 1 для всех n ≥ 2.
   Доказательство. Из условия f ∈ S0 следует, что
                          ·              ¸
                                f 00 (z)
                       Re 1 + z 0          > 0, z ∈ D.
                                f (z)
Обозначим
                                                         f 00 (z)
                                        P (z) = 1 + z
                                                         f 0 (z)
и заметим, что дробь
                                       P −1
                                              Q=
                                       P +1
определяет конформное отображение правой полуплоскости Re P > 0 на еди-
ничный круг |Q| < 1, следовательно,
                              ¯           ¯
                              ¯ P (z) − 1 ¯
                              ¯
                     |Q(z)| = ¯           ¯ < 1, z ∈ D.
                                P (z) + 1 ¯
Поскольку Q(0) = 0, по лемме Шварца имеем |Q(z)| ≤ |z|, что равносильно
неравенству |P (z) − 1| ≤ |zP (z) + z|, и в конечном счете – неравенству

                                  |f 00 (z)| ≤ |2f 0 (z) + zf 00 (z)|.

Таким образом, функция f 00 (z) квазиподчинена функции 2f 0 (z) + zf 00 (z). Вы-
числим тейлоровские коэффициенты этих функций и применим к ним обоб-
щенную теорему Рогозинского. Имеем

         f 0 (z) = 1 + 2a2 z + 3a3 z 2 + ...,             f 00 (z) = 2a2 + 2 · 3a3 z + ...,

и поэтому
                                        2f 0 (z) + zf 00 (z) =
             ∞
             X                        ∞
                                      X                                  ∞
                                                                         X
                            n−1                         n−1
      =2+          2nan z         +         n(n − 1)z         an = 2 +         n(n + 1)z n−1 an .
             n=2                      n=2                                n=2

Записывая неравенство Рогозинского для коэффициентов, получаем

                    4|a2 |2 + 22 · 32 |a3 |2 + ... + n2 (n + 1)2 |an+1 |2 ≤

Страницы