Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

66 Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях
и
Ψ
1
(z) =
n
X
k=0
B
k
z
k
применимо следствие теоремы Литтлвуда. Будем иметь
n
X
k=0
|A
k
|
2
+
∞
X
k=n+1
|C
k
|
2
≤
n
X
k=0
|B
k
|
2
,
отсюда следует
n
X
k=0
|A
k
|
2
≤
n
X
k=0
|B
k
|
2
,
что и требовалось доказать.
6.3 Понятие квазиподчиненности и его приме-
нения
Определение. Пусть D = {z : |z| < 1} – единичный круг, Φ(z), Ψ(z) –
голоморфные функции, заданные в этом круге. Говорят, что функция Φ(z)
является квазиподчиненной функции Ψ(z), если для всех z ∈ D справедливо
равенство
Φ(z) = ϕ(z)Ψ(ω(z)),
где функции ω и ϕ голоморфны в D, причем |ω(z)| ≤ |z| и |ϕ(z)| ≤ 1 для
всех точек z ∈ D.
Выделим важный частный случай квазиподчиненности: если функции
Φ(z), Ψ(z) голоморфны в единичном круге и для всех z ∈ D выполняется
неравенство
|Φ(z)| ≤ |Ψ(z)|,
то, очевидно, функция Φ(z) является квазиподчиненной функции Ψ(z).
Проверьте, что теоремы Литтлвуда и Рогозинского о подчиненных функ-
циях справедливы и для квазиподчиненных функций, причем схемы дока-
зательств этих теорем для квазиподчиненных остаются теми же, что и для
подчиненных функций. Впервые эти факты были установлены в работах Дж.
Клуни для функций с условием |Φ(z)| ≤ |Ψ(z)| и М. С. Робертсона в общем
случае. Термин "квазиподчиненность" также предложен М. С. Робертсоном
(см. монографию Х. Поммеренке [34]).
66                  Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях

и
                                             n
                                             X
                               Ψ1 (z) =            Bk z k
                                             k=0

применимо следствие теоремы Литтлвуда. Будем иметь
                    n
                    X                ∞
                                     X                     n
                                                           X
                              2                    2
                           |Ak | +           |Ck | ≤              |Bk |2 ,
                     k=0             k=n+1                 k=0

отсюда следует
                              n
                              X               n
                                              X
                                       2
                                    |Ak | ≤            |Bk |2 ,
                              k=0             k=0

что и требовалось доказать.


6.3    Понятие квазиподчиненности и его приме-
       нения
   Определение. Пусть D = {z : |z| < 1} – единичный круг, Φ(z), Ψ(z) –
голоморфные функции, заданные в этом круге. Говорят, что функция Φ(z)
является квазиподчиненной функции Ψ(z), если для всех z ∈ D справедливо
равенство
                          Φ(z) = ϕ(z)Ψ(ω(z)),
где функции ω и ϕ голоморфны в D, причем |ω(z)| ≤ |z| и |ϕ(z)| ≤ 1 для
всех точек z ∈ D.

   Выделим важный частный случай квазиподчиненности: если функции
Φ(z), Ψ(z) голоморфны в единичном круге и для всех z ∈ D выполняется
неравенство
                            |Φ(z)| ≤ |Ψ(z)|,
то, очевидно, функция Φ(z) является квазиподчиненной функции Ψ(z).

   Проверьте, что теоремы Литтлвуда и Рогозинского о подчиненных функ-
циях справедливы и для квазиподчиненных функций, причем схемы дока-
зательств этих теорем для квазиподчиненных остаются теми же, что и для
подчиненных функций. Впервые эти факты были установлены в работах Дж.
Клуни для функций с условием |Φ(z)| ≤ |Ψ(z)| и М. С. Робертсона в общем
случае. Термин "квазиподчиненность" также предложен М. С. Робертсоном
(см. монографию Х. Поммеренке [34]).

Страницы