Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.2. Теоремы сравнения коэффициентов подчиненных функций 65
– голоморфные функции в единичном круге D, и пусть
Φ ≺ Ψ.
Тогда для любого натурального числа n и при n = 0 имеет место неравен-
ство
n
X
k=0
|A
k
|
2
≤
n
X
k=0
|B
k
|
2
.
Доказательство. Равенство Φ(z) = Ψ(ω(z)), где ω(z) – голоморфная функ-
ция, удовлетворяющая условию |ω(z) ≤ |z|, равносильно равенству рядов
∞
X
k=0
A
k
z
k
=
∞
X
k=0
B
k
ω
k
(z),
или, что то же самое,
n
X
k=0
A
k
z
k
+
Ã
∞
X
k=n+1
A
k
z
k
−
∞
X
k=n+1
B
k
ω
k
(z)
!
=
n
X
k=0
B
k
ω
k
(z)
Поскольку вблизи нуля функция ω(z) имеет разложение
ω(z) = a
1
z + a
2
z
2
+ ... = z(a
1
+ a
2
z + ...),
выражение в больших круглых скобках представимо степенным рядом вида
∞
X
k=n+1
C
k
z
k
.
Следовательно, имеем равенство
n
X
k=0
A
k
z
k
+
∞
X
k=n+1
C
k
z
k
=
n
X
k=0
B
k
ω
k
(z),
что согласно определению подчиненных функций означает
n
X
k=0
A
k
z
k
+
∞
X
k=n+1
C
k
z
k
≺
n
X
k=0
B
k
z
k
.
Поэтому к функциям
Φ
1
(z) =
n
X
k=0
A
k
z
k
+
∞
X
k=n+1
C
k
z
k
6.2. Теоремы сравнения коэффициентов подчиненных функций                                           65

– голоморфные функции в единичном круге D, и пусть

                                                  Φ ≺ Ψ.

Тогда для любого натурального числа n и при n = 0 имеет место неравен-
ство                       n         n
                          X          X
                                  2
                             |Ak | ≤    |Bk |2 .
                                    k=0               k=0

   Доказательство. Равенство Φ(z) = Ψ(ω(z)), где ω(z) – голоморфная функ-
ция, удовлетворяющая условию |ω(z) ≤ |z|, равносильно равенству рядов
                                  ∞
                                  X                 ∞
                                                    X
                                              k
                                           Ak z =          Bk ω k (z),
                                  k=0                k=0

или, что то же самое,
          n
                           Ã   ∞                    ∞
                                                                        !       n
          X                    X                    X                           X
                Ak z k +               Ak z k −            Bk ω k (z)       =         Bk ω k (z)
          k=0                  k=n+1               k=n+1                        k=0

Поскольку вблизи нуля функция ω(z) имеет разложение

                    ω(z) = a1 z + a2 z 2 + ... = z(a1 + a2 z + ...),

выражение в больших круглых скобках представимо степенным рядом вида
                                              ∞
                                              X
                                                     Ck z k .
                                             k=n+1

Следовательно, имеем равенство
                      n
                      X                     ∞
                                            X                   n
                                                                X
                               Ak z k +            Ck z k =           Bk ω k (z),
                       k=0                 k=n+1                k=0

что согласно определению подчиненных функций означает
                           n
                           X                 ∞
                                             X                   n
                                                                 X
                                       k                   k
                                 Ak z +              Ck z ≺             Bk z k .
                           k=0               k=n+1                k=0


   Поэтому к функциям
                                            n
                                            X                   ∞
                                                                X
                                                      k
                               Φ1 (z) =           Ak z +               Ck z k
                                            k=0                k=n+1

Страницы