Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.2. Теоремы сравнения коэффициентов подчиненных функций 63
К внутреннему интегралу применим теорему о среднем для гармонических
функций, т. е. формулу
1
2π
2π
Z
0
V (ρe
iϕ
)dϕ = V (0)
µ
V = Re
re
iθ
+ ω(ρe
iϕ
)
re
iθ
− ω(ρe
iϕ
)
,
Поскольку
V (0) = Re
re
iθ
+ ω(0)
re
iθ
− ω(0)
= Re
re
iθ
re
iθ
= 1,
будем иметь равенство
1
2π
2π
Z
0
|Ψ(re
iθ
)|
2
dθ
2π
Z
0
Re
re
iθ
+ ω(ρe
iϕ
)
re
iθ
− ω(ρe
iϕ
)
dϕ =
2π
Z
0
|Ψ(re
iθ
)|
2
dθ
для любых ρ, r, удовлетворяющих соотношениям 0 < ρ < r < 1.
В результате получаем неравенство
2π
Z
0
|Φ(ρe
iϕ
)|
2
dϕ ≤
2π
Z
0
|Ψ(re
iθ
)|
2
dθ
для любых ρ, r таких, что 0 < ρ < r < 1. Переходя к пределу при r → ρ,
приходим к утверждению теоремы.
6.2 Теоремы сравнения коэффициентов подчи-
ненных функций
Теорема 6.2. Пусть Φ ≺ Ψ, причем
Φ(z) =
∞
X
k=0
A
k
z
k
, Ψ(z) =
∞
X
k=0
B
k
z
k
.
Тогда
∞
X
k=0
|A
k
|
2
≤
∞
X
k=0
|B
k
|
2
.
6.2. Теоремы сравнения коэффициентов подчиненных функций                                                   63

К внутреннему интегралу применим теорему о среднем для гармонических
функций, т. е. формулу

                  Z2π                                          µ                       ¶
             1              iϕ                                         reiθ + ω(ρeiϕ )
                        V (ρe )dϕ = V (0)                       V = Re                   ,
            2π                                                         reiθ − ω(ρeiϕ )
                  0


Поскольку
                                                    reiθ + ω(0)      reiθ
                           V (0) = Re                           = Re      = 1,
                                                    reiθ − ω(0)      reiθ
будем иметь равенство

              Z2π                        Z2π                                        Z2π
          1                iθ       2             reiθ + ω(ρeiϕ )
                    |Ψ(re )| dθ                Re                 dϕ =                    |Ψ(reiθ )|2 dθ
         2π                                       reiθ − ω(ρeiϕ )
              0                           0                                         0


для любых ρ, r, удовлетворяющих соотношениям 0 < ρ < r < 1.

   В результате получаем неравенство

                                Z2π                            Z2π
                                               iϕ    2
                                        |Φ(ρe )| dϕ ≤                |Ψ(reiθ )|2 dθ
                                0                              0


для любых ρ, r таких, что 0 < ρ < r < 1. Переходя к пределу при r → ρ,
приходим к утверждению теоремы.


6.2     Теоремы сравнения коэффициентов подчи-
        ненных функций
Теорема 6.2. Пусть Φ ≺ Ψ, причем
                                         ∞
                                         X                                  ∞
                                                                            X
                                                         k
                          Φ(z) =                Ak z ,          Ψ(z) =            Bk z k .
                                         k=0                                k=0


Тогда
                                              ∞
                                              X                ∞
                                                               X
                                                    |Ak |2 ≤         |Bk |2 .
                                              k=0              k=0

Страницы