Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 61 стр.

Глава 6

Теория Литтлвуда о подчиненных
функциях

6.1    Определение подчиненности и теорема Литт-
       лвуда
  Пусть D = {z : |z| < 1} – единичный круг, Φ(z), Ψ(z) – голоморфные
функции, заданные в этом круге.
  Определение. Говорят, что Φ(z) подчинена функции Ψ(z) и пишут

                                Φ ≺ Ψ,

если существует функция ω(z), голоморфная в D и удовлетворяющая усло-
виям: ω(0) = 0, |ω(z)| < 1 для всех z ∈ D и

                       Φ(z) = Ψ(ω(z))    ∀z ∈ D.


   К этому определению можно дать следующие пояснения. Полезно пом-
нить, что по лемме Шварца для функции ω(z) справедлива точная оценка:
|ω(z)| ≤ |z| для любой точки z ∈ D. Далее, голоморфная функция подчинена
самой себе, так как можно взять ω(z) ≡ z в определении. Кроме того, если
Ψ – однолистная функция, то в определении можно обойтись без функции
ω(z) и говорить, что Φ(z) подчинена функции Ψ(z) при выполнении условий:
Φ(0) = Ψ(0) и Φ(D) ⊂ Ψ(D).




                                  61