Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

62 Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях
Теорема 6.1. (Теорема Дж. Литтлвуда.) Пусть функции Φ, Ψ голоморфны
в D и Φ ≺ Ψ. Тогда для любого ρ ∈ (0, 1)
2π
Z
0
|Φ(ρe
iθ
)|
2
dθ ≤
2π
Z
0
|Ψ(ρe
iθ
)|
2
dθ.
Доказательство. Фиксируем положительное число ρ ∈ (0, 1). Возьмем
некоторое число r ∈ (ρ, 1). Рассмотрим в единичном круге квадраты голо-
морфных функций Φ(z) и Ψ(z).
Поскольку Φ
2
(z), Ψ
2
(z) также голоморфны в D, то их вещественные и
мнимые части являются гармоническими функциями. Поэтому к функциям
ReΨ
2
(z) = u(x, y), ImΨ
2
(z) = v(x, y) применимы формулы Пуассона. Записы-
вая их для суммы u(x, y) + iv( x, y), получаем следующую формулу Пуассона
для голомофной функции:
Ψ
2
(z) =
1
2π
2π
Z
0
Ψ
2
(ζ) Re
ζ + z
ζ − z
dθ (ζ = re
iθ
, r ∈ (0, 1)),
для любой точки z = ρe
iϕ
, 0 < ρ < r, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Поэтому
Φ
2
(z) = Ψ
2
(ω(z)) =
1
2π
2π
Z
0
Ψ
2
(ζ) Re
ζ + ω(z)
ζ − ω(z)
dθ (ζ = re
iθ
).
Простые оценки с учетом соотношений |z| = ρ < r, |ω(z)| ≤ |z| приводят к
неравенству
|Φ(ρe
iϕ
)|
2
≤
1
2π
2π
Z
0
|Ψ(re
iθ
)|
2
Re
re
iθ
+ ω(ρe
iϕ
)
re
iθ
− ω(ρe
iϕ
)
dθ,
где реальная часть дроби под интегралом взята без знака модуля, так как
она положительна в силу того, что
Re
ζ + z
ζ − z
> 0
при условии |z| = ρ < r = |ζ|.
Проинтегрируем полученное неравенство для функций Φ
2
(z), Ψ
2
(z) при
фиксированном ρ ∈ (0, 1). Имеем
2π
Z
0
|Φ(ρe
iϕ
)|
2
dϕ ≤
1
2π
2π
Z
0
|Ψ(re
iθ
)|
2
dθ
2π
Z
0
Re
re
iθ
+ ω(ρe
iϕ
)
re
iθ
− ω(ρe
iϕ
)
dϕ.
62                            Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях

Теорема 6.1. (Теорема Дж. Литтлвуда.) Пусть функции Φ, Ψ голоморфны
в D и Φ ≺ Ψ. Тогда для любого ρ ∈ (0, 1)
                                  Z2π                       Z2π
                                             iθ     2
                                        |Φ(ρe )| dθ ≤             |Ψ(ρeiθ )|2 dθ.
                                  0                         0

   Доказательство. Фиксируем положительное число ρ ∈ (0, 1). Возьмем
некоторое число r ∈ (ρ, 1). Рассмотрим в единичном круге квадраты голо-
морфных функций Φ(z) и Ψ(z).
   Поскольку Φ2 (z), Ψ2 (z) также голоморфны в D, то их вещественные и
мнимые части являются гармоническими функциями. Поэтому к функциям
ReΨ2 (z) = u(x, y), ImΨ2 (z) = v(x, y) применимы формулы Пуассона. Записы-
вая их для суммы u(x, y) + iv(x, y), получаем следующую формулу Пуассона
для голомофной функции:

                              Z2π
             2    1                                     ζ +z
         Ψ (z) =                      Ψ2 (ζ) Re              dθ            (ζ = reiθ , r ∈ (0, 1)),
                 2π                                     ζ −z
                              0

для любой точки z = ρeiϕ , 0 < ρ < r, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Поэтому
                                                Z2π
         2           2      1                                      ζ + ω(z)
        Φ (z) = Ψ (ω(z)) =                            Ψ2 (ζ) Re             dθ          (ζ = reiθ ).
                           2π                                      ζ − ω(z)
                                                0

Простые оценки с учетом соотношений |z| = ρ < r, |ω(z)| ≤ |z| приводят к
неравенству
                                            Z2π
                         iϕ  1 2                                         reiθ + ω(ρeiϕ )
                 |Φ(ρe )| ≤                       |Ψ(reiθ )|2 Re                         dθ,
                            2π                                           reiθ − ω(ρeiϕ )
                                            0

где реальная часть дроби под интегралом взята без знака модуля, так как
она положительна в силу того, что
                                                         ζ +z
                                                  Re          >0
                                                         ζ −z
при условии |z| = ρ < r = |ζ|.
   Проинтегрируем полученное неравенство для функций Φ2 (z), Ψ2 (z) при
фиксированном ρ ∈ (0, 1). Имеем
         Z2π                                Z2π                      Z2π
                                 1                                              reiθ + ω(ρeiϕ )
               |Φ(ρeiϕ )|2 dϕ ≤                     |Ψ(reiθ )|2 dθ         Re                   dϕ.
                                2π                                              reiθ − ω(ρeiϕ )
         0                                  0                        0

Страницы