Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях
Доказательство. По формуле Парсеваля для |z| = r < 1
2π
Z
0
|Φ(z)|
2
dθ =
2π
Z
0
Φ(z)Φ(z)dθ =
=
2π
Z
0
∞
X
k=0
A
k
r
k
e
ikθ
A
k
r
k
e
−ikθ
dθ = 2π
∞
X
k=0
|A
k
|
2
r
2k
.
Аналогично, имеем равенство
2π
Z
0
|Ψ(z)|
2
dθ = 2π
∞
X
k=0
|B
k
|
2
r
2k
.
Применяя теорему Литтлвуда, получаем при любом r ∈ (0, 1)
∞
X
k=0
|A
k
|
2
r
2k
≤
∞
X
k=0
|B
k
|
2
r
2k
.
Остается устремить r к единице.
На самом деле из теоремы Литтлвуда можно получить следующую счет-
ную серию неравенств для коэффициентов A
k
, B
k
:
|A
0
| ≤ |B
0
|,
|A
0
|
2
+ |A
1
|
2
≤ |B
0
|
2
+ |B
1
|
2
,
|A
0
|
2
+ |A
1
|
2
+ |A
3
|
2
≤ |B
0
|
2
+ |B
1
|
2
+ |B
3
|
2
,
|A
0
|
2
+ |A
1
|
2
+ |A
3
|
2
+ |A
4
|
2
≤ |B
0
|
2
+ |B
1
|
2
+ |B
3
|
2
+ |B
4
|
2
,
и аналогичные неравенства для любого числа слагаемых. А именно, справед-
лива следующая
Теорема 6.3. (Теорема В. Рогозинского.) Пусть
Φ(z) =
∞
X
k=0
A
k
z
k
, Ψ(z) =
∞
X
k=0
B
k
z
k
64                         Глава 6. Теория Литтлвуда о подчиненных функциях

     Доказательство. По формуле Парсеваля для |z| = r < 1

                            Z2π                         Z2π
                                             2
                                    |Φ(z)| dθ =               Φ(z)Φ(z)dθ =
                             0                           0


                      Z2π X
                          ∞                                                 ∞
                                                                            X
                                       k ikθ           k −ikθ
                  =              Ak r e        Ak r e           dθ = 2π              |Ak |2 r2k .
                      0   k=0                                               k=0

Аналогично, имеем равенство

                                Z2π                           ∞
                                                              X
                                               2
                                      |Ψ(z)| dθ = 2π                  |Bk |2 r2k .
                                0                               k=0


Применяя теорему Литтлвуда, получаем при любом r ∈ (0, 1)
                                    ∞
                                    X                        ∞
                                                             X
                                                 2 2k
                                          |Ak | r       ≤          |Bk |2 r2k .
                                    k=0                      k=0

Остается устремить r к единице.


   На самом деле из теоремы Литтлвуда можно получить следующую счет-
ную серию неравенств для коэффициентов Ak , Bk :

                                                 |A0 | ≤ |B0 |,

                                 |A0 |2 + |A1 |2 ≤ |B0 |2 + |B1 |2 ,
                    |A0 |2 + |A1 |2 + |A3 |2 ≤ |B0 |2 + |B1 |2 + |B3 |2 ,
           |A0 |2 + |A1 |2 + |A3 |2 + |A4 |2 ≤ |B0 |2 + |B1 |2 + |B3 |2 + |B4 |2 ,
и аналогичные неравенства для любого числа слагаемых. А именно, справед-
лива следующая


Теорема 6.3. (Теорема В. Рогозинского.) Пусть
                                      ∞
                                      X                                    ∞
                                                                           X
                                                   k
                          Φ(z) =            Ak z ,            Ψ(z) =              Bk z k
                                      k=0                                  k=0

Страницы