Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.4. Задачи и упражнения 59
так как в силу инвариантности шварциана относительно дробно-линейных
преобразований имеет место равенство
{g, z} = {f, z}.
3) Пусть f
0
∈ S
∗
. Покажите, что однопараметрическое семейство функций
f(z, t) = e
t
f
0
(z) удовлетворяет всем условиям теоремы 5.5.
4) Докажите теорему Й. Беккера: если функция f(z) = z + a
2
z
2
+ ...
является аналитической в единичном круге D и удовлетворяет неравенству
¯
¯
¯
¯
z
f
00
(z)
f
0
(z)
¯
¯
¯
¯
≤
1
1 −|z|
2
, |z| < 1,
то f(z) однолистна в D.
Указание. Рассмотрите однопараметрическое семейство вида
f(z, t) = f (e
−t
z) + (e
t
− e
−t
) f
0
(e
−t
z).
5) Получите следующее утверждение как следствие теоремы Й. Беккера:
если функция f(z) является аналитической в полуплоскости Π = {z = x+iy :
y > 0} и удовлетворяет неравенству
¯
¯
¯
¯
f
00
(z)
f
0
(z)
¯
¯
¯
¯
≤
1
2 y
, y > 0,
то f(z) однолистна в Π.
6) Докажите теорему З. Нехари: если функция f (z) является аналитиче-
ской в единичном круге D и удовлетворяет неравенству
|{f, z}| ≤
2
(1
− |
z
|
2
)
2
, |z| < 1,
то f(z) однолистна в D.
Указание. Убедитесь, что функцию f(z) с известным шварцианом можно
представить в виде
f(z) =
g
1
(z)
g
2
(z)
,
5.4. Задачи и упражнения                                               59

так как в силу инвариантности шварциана относительно дробно-линейных
преобразований имеет место равенство

                                 {g, z} = {f, z}.


    3) Пусть f0 ∈ S∗ . Покажите, что однопараметрическое семейство функций
f (z, t) = et f0 (z) удовлетворяет всем условиям теоремы 5.5.

   4) Докажите теорему Й. Беккера: если функция f (z) = z + a2 z 2 + ...
является аналитической в единичном круге D и удовлетворяет неравенству
                     ¯ 00 ¯
                     ¯ f (z) ¯        1
                     ¯z        ¯
                     ¯ f 0 (z) ¯ ≤ 1 − |z|2 , |z| < 1,

то f (z) однолистна в D.

   Указание. Рассмотрите однопараметрическое семейство вида

                    f (z, t) = f (e−t z) + (et − e−t ) f 0 (e−t z).


   5) Получите следующее утверждение как следствие теоремы Й. Беккера:
если функция f (z) является аналитической в полуплоскости Π = {z = x+iy :
y > 0} и удовлетворяет неравенству
                          ¯ 00 ¯
                          ¯ f (z) ¯      1
                          ¯         ¯
                          ¯ f 0 (z) ¯ ≤ 2 y , y > 0,

то f (z) однолистна в Π.

   6) Докажите теорему З. Нехари: если функция f (z) является аналитиче-
ской в единичном круге D и удовлетворяет неравенству
                                         2
                       |{f, z}| ≤                 ,   |z| < 1,
                                     (1 − |z|2 )2

то f (z) однолистна в D.

   Указание. Убедитесь, что функцию f (z) с известным шварцианом можно
представить в виде
                                      g1 (z)
                              f (z) =        ,
                                      g2 (z)

Страницы