Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.3. Уравнение Лёвнера-Куфарева 57
Теорема 5.4. (К. Лёвнер.) В классе S имеем точную оценку |c
3
− c
2
2
| ≤ 1.
Доказательство. Непосредственные вычисления дают
|c
3
− c
2
2
| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2
∞
Z
0
e
−2τ
κ
2
(τ)dτ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
≤ 2
∞
Z
0
e
−2τ
dτ =
∞
Z
0
e
−τ
dτ = 1.
С другой стороны, для функции Кёбе имеем: a
2
= 2, a
3
= 3. Поэтому a
3
−
a
2
2
= 3 − 4 = −1, следовательно, полученная оценка точна и функция Кёбе
является экстремальной.
5.3 Уравнение Лёвнера-Куфарева
Развитием и применениями теории Лёвнера занимались П. П. Куфарев,
Г. М. Голузин, И. Е. Базилевич, Х. Поммеренке, В. В. Горяйнов и ряд других
математиков.
В упрощенной формулировке приведем одно утверждение, восходящее к
П. П. Куфареву и Х. Поммеренке, тесно связанное со вторым уравнением
Лёвнера и позволяющее получать достаточные условия однолистности ана-
литических функций (см. подробности в [2], [34]).
Предположим, что в единичном круге D = {z : |z| < 1} заданы аналити-
ческие функции f
0
(z), f
1
(z), f(z, t), причем f(z, t) непрерывно дифференци-
руема по параметру t при 0 ≤ t < ∞ и f (0, t) = 0, f
0
(0, t) 6= 0, а f
0
(z) и f
1
(z)
вложены в однопараметрическое семейтво f(z, t) следующим образом:
f(z, 0) = f
0
(z), f(z, t) = a
1
(t) f
1
(z) + O(1), t → ∞,
где a
1
(t) – положительная дифференцируемая функция со свойством
lim
t→∞
a
1
(t) = ∞.
Через h(z, t) обозначим функцию, определенную равенством
∂f(z, t)
∂t
= z h(z, t)
∂f(z, t)
∂z
, z ∈ D, 0 ≤ t < ∞.
Теорема 5.5. Если
Re h(z, t) > 0, z ∈ D, 0 ≤ t < ∞,
то все функции f(z, t) однолистны в D = {z : |z| < 1}, в частности, одно-
листными являются и функции f
0
(z), f
1
(z).
5.3. Уравнение Лёвнера-Куфарева                                                   57

Теорема 5.4. (К. Лёвнер.) В классе S имеем точную оценку |c3 − c22 | ≤ 1.
   Доказательство. Непосредственные вычисления дают
                                  ¯               ¯
                                  ¯ Z∞            ¯
                                  ¯               ¯
                     |c3 − c2 | = ¯−2 e κ (τ )dτ ¯¯ ≤
                            2     ¯    −2τ 2

                                  ¯               ¯
                                              0
                                  Z∞               Z∞
                           ≤2          e−2τ dτ =        e−τ dτ = 1.
                                  0                0
С другой стороны, для функции Кёбе имеем: a2 = 2, a3 = 3. Поэтому a3 −
a22 = 3 − 4 = −1, следовательно, полученная оценка точна и функция Кёбе
является экстремальной.


5.3     Уравнение Лёвнера-Куфарева

   Развитием и применениями теории Лёвнера занимались П. П. Куфарев,
Г. М. Голузин, И. Е. Базилевич, Х. Поммеренке, В. В. Горяйнов и ряд других
математиков.
   В упрощенной формулировке приведем одно утверждение, восходящее к
П. П. Куфареву и Х. Поммеренке, тесно связанное со вторым уравнением
Лёвнера и позволяющее получать достаточные условия однолистности ана-
литических функций (см. подробности в [2], [34]).
   Предположим, что в единичном круге D = {z : |z| < 1} заданы аналити-
ческие функции f0 (z), f1 (z), f (z, t), причем f (z, t) непрерывно дифференци-
руема по параметру t при 0 ≤ t < ∞ и f (0, t) = 0, f 0 (0, t) 6= 0, а f0 (z) и f1 (z)
вложены в однопараметрическое семейтво f (z, t) следующим образом:
             f (z, 0) = f0 (z),       f (z, t) = a1 (t) f1 (z) + O(1), t → ∞,
где a1 (t) – положительная дифференцируемая функция со свойством
                                        lim a1 (t) = ∞.
                                       t→∞

   Через h(z, t) обозначим функцию, определенную равенством
             ∂f (z, t)             ∂f (z, t)
                       = z h(z, t)           ,            z ∈ D, 0 ≤ t < ∞.
                ∂t                    ∂z
Теорема 5.5. Если
                     Re h(z, t) > 0,           z ∈ D,       0 ≤ t < ∞,
то все функции f (z, t) однолистны в D = {z : |z| < 1}, в частности, одно-
листными являются и функции f0 (z), f1 (z).

Страницы