Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера
5.4 Задачи и упражнения
1) Подтвердите результат Крауса-Нехари: пусть функция w = f (z) яв-
ляется аналитической и однолистной в единичном круге D, тогда для всех
z ∈ D шварциан этой функции удовлетворяет неравенству
|{f, z}| ≤
6
(1 − |z|
2
)
2
,
причем постоянная 6 является точной.
Отметим, что эта теорема получена впервые В. Краусом в 1932 году, но
стала широко известной после статьи З. Нехари 1949 года, где он переоткрыл
этот результат и доказал достаточные условия однолистности в терминах
шварциана (см. ниже задачу 6).
Указание. При произвольном, но фиксированном z ∈ D рассмотрим пре-
образование Кёбе
g(ζ) =
f(
ζ+z
1+zζ
) − f(z)
(1 − |z|
2
)f
0
(z)
= ζ + a
2
(g)ζ
2
+ a
3
(g)ζ
3
+ ..., |ζ| < 1.
Поскольку g(ζ) ∈ S, то по теореме Лёвнера имеет место точная оценка
|a
3
(g) −a
2
2
(g)| ≤ 1.
Непосредственными вычислениями показываем, что
6
¡
a
3
(g) −a
2
2
(g)
¢
= {f, z}(1 − |z|
2
)
2
.
2) Пусть F ∈ Σ, тогда
|{F, ζ}| ≤
6
(|ζ|
2
− 1)
2
, |ζ| > 1.
Указание. Найдется постоянная c такая, что F (ζ) − c 6= 0 . Тогда для
функции
f(z) =
1
F (1/z) − c
справедливо неравенство Нехари, равносильное доказываемому.
Вычисления достаточно проводить для функции
g(1/ζ) = F (ζ),
58                                Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера

5.4      Задачи и упражнения
   1) Подтвердите результат Крауса-Нехари: пусть функция w = f (z) яв-
ляется аналитической и однолистной в единичном круге D, тогда для всех
z ∈ D шварциан этой функции удовлетворяет неравенству
                                                          6
                                   |{f, z}| ≤                      ,
                                                      (1 − |z|2 )2
причем постоянная 6 является точной.
   Отметим, что эта теорема получена впервые В. Краусом в 1932 году, но
стала широко известной после статьи З. Нехари 1949 года, где он переоткрыл
этот результат и доказал достаточные условия однолистности в терминах
шварциана (см. ниже задачу 6).

   Указание. При произвольном, но фиксированном z ∈ D рассмотрим пре-
образование Кёбе
                         ζ+z
                    f ( 1+zζ ) − f (z)
           g(ζ) =                          = ζ + a2 (g)ζ 2 + a3 (g)ζ 3 + ..., |ζ| < 1.
                    (1 −   |z|2 )f 0 (z)
Поскольку g(ζ) ∈ S, то по теореме Лёвнера имеет место точная оценка

                                     |a3 (g) − a22 (g)| ≤ 1.

Непосредственными вычислениями показываем, что
                   ¡                ¢
                  6 a3 (g) − a22 (g) = {f, z} (1 − |z|2 )2 .

     2) Пусть F ∈ Σ, тогда
                                                     6
                           |{F, ζ}| ≤                      ,      |ζ| > 1.
                                            (| ζ|2   − 1)2

   Указание. Найдется постоянная c такая, что F (ζ) − c 6= 0. Тогда для
функции
                                        1
                           f (z) =
                                   F (1/z) − c
справедливо неравенство Нехари, равносильное доказываемому.

     Вычисления достаточно проводить для функции

                                           g(1/ζ) = F (ζ),

Страницы