Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

56 Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера
которая удовлетворяет тождеству g
t
0
(f(z, t), t) = f(z, t
0
) и, следовательно,
второму дифференциальному уравнению Лёвнера
∂g
t
0
∂t
= z
∂g
t
0
∂z
1 + κ(t) z
1 − κ(t) z
, z ∈ D, t ∈ [0, t
0
].
Подставляя в это уравнение разложение в ряд функции g
t
0
(z, t) и сравнивая
при n ≥ 2 коэффициенты в правой и левой частях получаемого равенства,
приходим к формуле
d c
n
(t, t
0
)
dt
= (n − 1) c
n
(t, t
0
) + 2
n−1
X
j=1
j c
j
(t, t
0
) κ
n−j
(t).
Интегрируем это линейное уравнение имея в виду, что g
t
0
(z, t
0
) = z, и по-
этому c
n
(t
0
, t
0
) = 0 при n ≥ 2. Получаем
c
n
(t, t
0
) = −2 e
(n−1)t
Z
t
0
0
e
−(n−1)τ
n−1
X
j=1
j c
j
(τ, t
0
) κ
n−j
(τ) dτ.
На основании этой формулы тейлоровские коэффициенты функции g
t
0
(z, t)
определяются последовательными вычислениями, а для коэффициентов пре-
дельной функции имеем
c
n
= lim
t
0
→∞
c
n
(0, t
0
).
Несложные выкладки приводят к следующим формулам для второго и
третьего коэффициентов. Справедлива
Теорема 5.3. (К. Лёвнер.) Имеют место формулы
c
2
= −2
Z
∞
0
e
−τ
κ(τ)dτ
и
c
3
= −2
Z
∞
0
e
−2τ
κ
2
(τ)dτ + 4
µ
Z
∞
0
e
−τ
κ(τ)dτ
2
.
Первая из этих формул позволяет легко получить уже знакомую нам
оценку Бибербаха для второго коэффициента. Действительно, имеем
|c
2
| ≤ 2
Z
∞
0
e
−τ
|κ(τ)|dτ = 2
Z
∞
0
e
−τ
dτ = 2(−e
−τ
|
∞
0
) = 2.
В дальнейшем нам понадобится еще один результат Лёвнера.
56                                     Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера

которая удовлетворяет тождеству g t0 (f (z, t), t) = f (z, t0 ) и, следовательно,
второму дифференциальному уравнению Лёвнера
                  ∂g t0    ∂gt0 1 + κ(t) z
                        =z                 ,                         z ∈ D, t ∈ [0, t0 ].
                   ∂t       ∂z 1 − κ(t) z
Подставляя в это уравнение разложение в ряд функции g t0 (z, t) и сравнивая
при n ≥ 2 коэффициенты в правой и левой частях получаемого равенства,
приходим к формуле
                                                      n−1
                                                      X
              d cn (t, t0 )
                            = (n − 1) cn (t, t0 ) + 2     j cj (t, t0 ) κn−j (t).
                   dt                                 j=1

Интегрируем это линейное уравнение имея в виду, что g t0 (z, t0 ) = z, и по-
этому cn (t0 , t0 ) = 0 при n ≥ 2. Получаем
                                           Z       t0               n−1
                                                                    X
                                (n−1)t
           cn (t, t0 ) = −2 e                           e−(n−1)τ             j cj (τ, t0 ) κn−j (τ ) dτ.
                                               0                    j=1

На основании этой формулы тейлоровские коэффициенты функции g t0 (z, t)
определяются последовательными вычислениями, а для коэффициентов пре-
дельной функции имеем
                          cn = lim cn (0, t0 ).
                                                        t0 →∞

   Несложные выкладки приводят к следующим формулам для второго и
третьего коэффициентов. Справедлива
Теорема 5.3. (К. Лёвнер.) Имеют место формулы
                                 Z ∞
                         c2 = −2     e−τ κ(τ )dτ
                                                          0

и                          Z                                        µZ                       ¶2
                                   ∞                                         ∞
                                        −2τ    2                                 −τ
                c3 = −2                e      κ (τ )dτ + 4                       e κ(τ )dτ        .
                               0                                         0

   Первая из этих формул позволяет легко получить уже знакомую нам
оценку Бибербаха для второго коэффициента. Действительно, имеем
                    Z ∞                 Z ∞
                         −τ
          |c2 | ≤ 2     e |κ(τ )|dτ = 2     e−τ dτ = 2(−e−τ |∞
                                                             0 ) = 2.
                       0                                        0


     В дальнейшем нам понадобится еще один результат Лёвнера.

Страницы