Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера
Таким образом, имеем
|w
1
− w
0
| = |z|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
exp
−
t
Z
0
P (τ, z)dτ
− 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ Ct.
Итеративно применяя эти оценки, получаем |w
2
− w
1
| ≤ const t
2
, ...,
|w
n
− w
n−1
| ≤ C(z)
(e
At
0
Bt)
n−1
(n − 1)!
→ 0, n → ∞
равномерно по t ∈ [0, t
0
]. Указанная в выносной формуле сходимость к нулю
следует из свойств экспоненциальной функции. Действительно, так как
e
x
=
∞
X
n=0
x
n
n!
,
общий член ряда стремится к нулю в силу хорошо известного необходимого
условия сходимости любого ряда.
Таким образом, сходимость метода последовательных приближений и,
следовательно, существование решения задачи Коши доказаны.
Стандартно доказывается единственность решения.
Однолистность функции w = f(z, t) доказывается от противного.
Предположим, что z
1
6= z
2
, |z
1
| < 1, |z
2
| < 1, но ∃ t
1
такое, что
f(z
1
, t
1
) = f(z
2
, t
1
).
Но тогда по теореме единственности
f(z
1
, t) = f(z
2
, t), 0 ≤ t < ∞,
но при t = 0 имеем: f(z
1
, 0) = z
1
= z
2
= f(z
2
, 0) ⇒ z
1
= z
2
– противоречие.
Проверим теперь нормировку. Для этого уравнение Лёвнера для w =
f(z, t) перепишем так:
d(ln f + t)
dt
= −
2κf
1 − κf
,
отсюда имеем
ln
f(z, t)
f(z, 0)
+ t = −
t
Z
0
2κ(τ)f(z, τ)dτ
1 − κ(τ)f(z, τ)
.
54                           Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера

Таким образом, имеем
                                 ¯                   ¯
                                 ¯     Zt              ¯
                                 ¯                     ¯
                                 ¯
                |w1 − w0 | = |z| ¯exp − P (τ, z)dτ − 1¯¯ ≤ Ct.
                                                 
                                 ¯                     ¯
                                            0


     Итеративно применяя эти оценки, получаем |w2 − w1 | ≤ const t2 , ...,

                                      (eAt0 Bt)n−1
                |wn − wn−1 | ≤ C(z)                → 0,         n→∞
                                        (n − 1)!

равномерно по t ∈ [0, t0 ]. Указанная в выносной формуле сходимость к нулю
следует из свойств экспоненциальной функции. Действительно, так как
                                           ∞
                                           X
                                     x       xn
                                    e =               ,
                                           n=0
                                                 n!

общий член ряда стремится к нулю в силу хорошо известного необходимого
условия сходимости любого ряда.
   Таким образом, сходимость метода последовательных приближений и,
следовательно, существование решения задачи Коши доказаны.
   Стандартно доказывается единственность решения.

     Однолистность функции w = f (z, t) доказывается от противного.
     Предположим, что z1 6= z2 , |z1 | < 1, |z2 | < 1, но ∃ t1 такое, что

                               f (z1 , t1 ) = f (z2 , t1 ).

Но тогда по теореме единственности

                          f (z1 , t) = f (z2 , t), 0 ≤ t < ∞,

но при t = 0 имеем: f (z1 , 0) = z1 = z2 = f (z2 , 0) ⇒ z1 = z2 – противоречие.

    Проверим теперь нормировку. Для этого уравнение Лёвнера для w =
f (z, t) перепишем так:
                              d(ln f + t)        2κf
                                          =−          ,
                                  dt           1 − κf
отсюда имеем
                                          Zt
                        f (z, t)             2κ(τ )f (z, τ )dτ
                     ln          +t=−                           .
                        f (z, 0)             1 − κ(τ )f (z, τ )
                                            0

Страницы