Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера
Если последовательность сходится, то предельная функция w = lim
n→∞
w
n
удовлетворяет интегральному уравнению, эквивалентному рассматриваемой
задаче Коши. Поэтому нам достаточно показать сходимость метода Пикара.
5.1 О свойствах решения уравнения Лёвнера
Теорема 5.1. (Теорема Лёвнера.) Задача Коши (1), (2) имеет единственное
решение, причем e
t
f(z, t) = z +a
2
(t)z
2
+a
3
(t)z
3
+... при |z| < 1 и f( ·, t) : D →
C – однолистное отображение, т. е. f(z, t) как функция от z при любом
фиксированном t ∈ [0, ∞) является голоморфной, однолистной в единичном
круге D и
e
t
f( ·, t) ∈ S.
Кроме того, существует предельная функция
lim
t→∞
e
t
f(z, t) = f (z) ∈ S.
Доказательство. Легко показать, что последовательность w
n
ограничена.
Имеем
w
n
= z exp
−
t
Z
0
P (τ, w
n−1
)dτ
,
где функция
P (τ, w) =
1 + κw
1 − κw
будет иметь положительную вещественную часть, если |w| < 1. Покажем по
индукции, что |w
n
| < 1. Имеем |w
0
| = |z| < 1. Предположим, что |w
k
| < 1
для k = 0, n − 1 и докажем, что утверждение верно для w
n
. Функция p =
(1+ζ)/(1−ζ) определяет отображение круга |ζ| < 1 на правую полуплоскость
Re p > 0. Полагая κw
n−1
= ζ, с учетом соотношений |κ| = 1, |w
n−1
| ≤ |z|,
получаем Re P (τ, w
n−1
) > 0. Следовательно,
|w
n
| = |z|exp
−
t
Z
0
Re P (τ, w
n−1
)dτ
≤ |z| (∀n ∈ N).
Чтобы доказать сходимость, заметим, что
dw
n
dt
= −z exp
−
t
Z
0
P (τ, w
n−1
)dτ
P (t, w
n−1
) = −w
n
P (t, w
n−1
)
52                               Глава 5. Дифференциальное уравнение Лёвнера

   Если последовательность сходится, то предельная функция w = lim wn
                                                                n→∞
удовлетворяет интегральному уравнению, эквивалентному рассматриваемой
задаче Коши. Поэтому нам достаточно показать сходимость метода Пикара.


5.1      О свойствах решения уравнения Лёвнера
Теорема 5.1. (Теорема Лёвнера.) Задача Коши (1), (2) имеет единственное
решение, причем et f (z, t) = z +a2 (t)z 2 +a3 (t)z 3 +... при |z| < 1 и f ( · , t) : D →
C – однолистное отображение, т. е. f (z, t) как функция от z при любом
фиксированном t ∈ [0, ∞) является голоморфной, однолистной в единичном
круге D и
                                  et f ( · , t) ∈ S.
     Кроме того, существует предельная функция

                                 lim et f (z, t) = f (z) ∈ S.
                                 t→∞

  Доказательство. Легко показать, что последовательность wn ограничена.
Имеем                                          
                                  Zt
                   wn = z exp − P (τ, wn−1 )dτ  ,
                                             0

где функция
                                        1 + κw
                                     P (τ, w) =
                                        1 − κw
будет иметь положительную вещественную часть, если |w| < 1. Покажем по
индукции, что |wn | < 1. Имеем |w0 | = |z| < 1. Предположим, что |wk | < 1
для k = 0, n − 1 и докажем, что утверждение верно для wn . Функция p =
(1+ζ)/(1−ζ) определяет отображение круга |ζ| < 1 на правую полуплоскость
Re p > 0. Полагая κwn−1 = ζ, с учетом соотношений |κ| = 1, |wn−1 | ≤ |z|,
получаем Re P (τ, wn−1 ) > 0. Следовательно,
                                              
                             Zt
          |wn | = |z| exp − Re P (τ, wn−1 )dτ  ≤ |z| (∀n ∈ N).
                                 0

     Чтобы доказать сходимость, заметим, что
                                      
                         Zt
        dwn
            = −z exp − P (τ, wn−1 )dτ  P (t, wn−1 ) = −wn P (t, wn−1 )
         dt
                             0

Страницы