Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Глава 5
Дифференциальное уравнение
Лёвнера
Пусть κ : [0, +∞) → C – комплекснозначная кусочно-непрерывная функ-
ция, |κ(t)| ≡ 1. Рассматривается дифференциальное уравнение, предложен-
ное К. Лёвнером:
dw
dt
= −w
1 + κw
1 − κw
, (κ = κ(t)). (1)
Для этого уравнения решается задача Коши с начальным условием
w(0) = z, (2)
где z – фиксированное комплексное число, |z| < 1.
Как решение задачи (1), (2) возникает функция w = f(z, t), которую
можно рассматривать как функцию двух переменных, причем 0 ≤ t < ∞, z
– комплексная переменная, z ∈ D = {z : |z| < 1}. Как известно из курса диф-
ференциальных уравнений, существование решения задачи Коши для урав-
нения первого порядка с начальным условием доказывается методом после-
довательных приближений Пикара. Этот метод применим и для комплексно-
значных функций. Полагаем, что нулевое приближение w
0
= z – константа
(по отношению к переменной t ∈ [0, ∞)), а первое приближение определяется
формулой
w
1
= z exp
−
t
Z
0
1 + κ(τ)z
1 − κ(τ)z
dτ
,
далее по индукции: формула для n-ого приближения имеет вид
w
n
= z exp
−
t
Z
0
1 + κ(τ)w
n−1
1 − κ(τ)w
n−1
dτ
.
51
Глава 5

Дифференциальное уравнение
Лёвнера

   Пусть κ : [0, +∞) → C – комплекснозначная кусочно-непрерывная функ-
ция, |κ(t)| ≡ 1. Рассматривается дифференциальное уравнение, предложен-
ное К. Лёвнером:
                       dw      1 + κw
                          = −w        ,  (κ = κ(t)).                (1)
                       dt      1 − κw
Для этого уравнения решается задача Коши с начальным условием
                                 w(0) = z,                              (2)
где z – фиксированное комплексное число, |z| < 1.
   Как решение задачи (1), (2) возникает функция w = f (z, t), которую
можно рассматривать как функцию двух переменных, причем 0 ≤ t < ∞, z
– комплексная переменная, z ∈ D = {z : |z| < 1}. Как известно из курса диф-
ференциальных уравнений, существование решения задачи Коши для урав-
нения первого порядка с начальным условием доказывается методом после-
довательных приближений Пикара. Этот метод применим и для комплексно-
значных функций. Полагаем, что нулевое приближение w0 = z – константа
(по отношению к переменной t ∈ [0, ∞)), а первое приближение определяется
формулой                                           
                                    Zt
                                       1 + κ(τ )z 
                    w1 = z exp −                 dτ ,
                                       1 − κ(τ )z
                                      0
далее по индукции: формула для n-ого приближения имеет вид
                                                   
                                 Zt
                                    1 + κ(τ )wn−1 
                   wn = z exp −                  dτ .
                                    1 − κ(τ )wn−1
                                  0


                                      51

Страницы