Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.5. Задачи и упражнения 49
Отсюда выводим
OR
Ω
(w) =
2
f
0
(z)
∂R
Ω
∂z
.
Пользуясь представлением
R
Ω
= (1 − zz)
p
f
0
(z)
q
f
0
(z),
непосредственно находим
∂R
Ω
∂z
= −z|f
0
(z)| + (1 − |z|
2
)f
0
1
2
(z)
1
2
f
00
(z)
f
0
(z)
и, окончательно,
|OR
Ω
(w)| =
¯
¯
¯
¯
f
00
(z)
f
0
(z)
(1 − |z|
2
) − 2z
¯
¯
¯
¯
.
Правую часть можно оценить сверху. Для этого при произвольном, но фик-
сированном z ∈ D рассмотрим преобразование Кёбе
g(ζ) =
f(
ζ+z
1+zζ
) − f(z)
(1 − |z|
2
)f
0
(z)
= ζ + a
2
(g)ζ
2
+ a
3
(g)ζ
3
+ ..., |ζ| < 1.
Поскольку g(ζ) ∈ S, то по теореме Бибербаха имеет место точная оценка
|a
2
(g)| = |g
00
(0)|/2 ≤ 2.
Но, с другой стороны, простые вычисления показывают, что
2a
2
(g) = g
00
(0) =
f
00
(z)
f
0
(z)
(1 − |z|
2
) − 2z,
следовательно,
|OR
Ω
(w)| =
¯
¯
¯
¯
f
00
(z)
f
0
(z)
(1 − |z|
2
) − 2z
¯
¯
¯
¯
= 2|a
2
(g)| = |g
00
(0)| ≤ 4.
Отметим, что описание ряда интересных свойств градиента конформного
радиуса можно найти в статье [19] и в книге [20].
3) Опишите для предыдущей задачи все экстремальные односвязные об-
ласти Ω, т. е. области, которые содержат хотя бы одну точку w ∈ Ω со свой-
ством
|OR
Ω
(w)| = 4.
4.5. Задачи и упражнения                                                              49

Отсюда выводим
                                                  2 ∂RΩ
                                ORΩ (w) =               .
                                                     ∂z
                                               f 0 (z)
Пользуясь представлением
                                         p     q
                            RΩ = (1 − zz) f (z) f 0 (z),
                                           0


непосредственно находим

                   ∂RΩ                                1     1 f 00 (z)
                       = −z|f 0 (z)| + (1 − |z|2 )f 0 2 (z)
                    ∂z                                      2 f 0 (z)
и, окончательно,                     ¯ 00                 ¯
                                     ¯ f (z)              ¯
                        |ORΩ (w)| = ¯¯ 0 (1 − |z| ) − 2z ¯¯ .
                                                 2
                                       f (z)
Правую часть можно оценить сверху. Для этого при произвольном, но фик-
сированном z ∈ D рассмотрим преобразование Кёбе
                     ζ+z
                 f ( 1+zζ ) − f (z)
        g(ζ) =                        = ζ + a2 (g)ζ 2 + a3 (g)ζ 3 + ...,   |ζ| < 1.
                 (1 − |z|2 )f 0 (z)

Поскольку g(ζ) ∈ S, то по теореме Бибербаха имеет место точная оценка

                                |a2 (g)| = |g 00 (0)|/2 ≤ 2.

Но, с другой стороны, простые вычисления показывают, что

                                             f 00 (z)
                      2a2 (g) = g 00 (0) =      0
                                                      (1 − |z|2 ) − 2z,
                                             f (z)
следовательно,
                     ¯ 00                 ¯
                     ¯ f (z)              ¯
         |ORΩ (w)| = ¯ 0 (1 − |z| ) − 2z ¯¯ = 2| a2 (g)| = |g 00 (0)| ≤ 4.
                     ¯           2
                       f (z)

   Отметим, что описание ряда интересных свойств градиента конформного
радиуса можно найти в статье [19] и в книге [20].

   3) Опишите для предыдущей задачи все экстремальные односвязные об-
ласти Ω, т. е. области, которые содержат хотя бы одну точку w ∈ Ω со свой-
ством
                                |ORΩ (w)| = 4.

Страницы