Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.4. Классы звездообразных и выпуклых отображений 47
и геометрически означает, что при любом фиксированном r = |z| ∈ (0, 1)
с ростом θ касательная к кривой L
r
= {f(re
iθ
) : θ ∈ [0, 2π]} монотонно
вращается против часовой стрелки, т. е. угол касательной к L
r
, определяемый
формулой
γ(θ) =
π
2
+ θ + Argf
0
(re
iθ
),
является монотонно возрастающей функцией от полярного угла θ.
В дальнейшем, а именно, в главе 6 мы познакомимся с теорией подчинен-
ных функций, позволяющей легко доказать неравенства: |a
n
| ≤ n в классе
однолистных звездообразных функций, и |a
n
| ≤ 1 в классе однолистных вы-
пуклых функций. В этой главе ограничимся доказательством важного част-
ного случая последнего неравенства.
Теорема 4.3. Пусть функция f(z) = z + a
2
z
2
+ ... голоморфна при |z| < 1,
и f ∈ S
0
, тогда |a
2
| ≤ 1.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
P (z) = 1 + z
f
00
(z)
f
0
(z)
, |z| < 1.
В окрестности точки z = 0 имеем:
P (z) = 1 + z
2a
2
+ 6a
3
z + ...
1 + 2a
2
z + 3a
3
z
2
+ ...
= 1 + 2a
2
z + o(z).
Функция ϕ = (P −1)/(P +1) определяет отображение полуплоскости Re P >
0 на круг |ϕ| < 1. Поэтому функция
ϕ(z) =
P (z) − 1
P (z) + 1
обладает свойствами:
ϕ(z) =
1 + 2a
2
z − 1 + o(z)
1 + 2a
2
z + 1 + o(z)
= a
2
z + o(z), z → 0,
и |ϕ(z)| < 1 при |z| < 1.
К функции ϕ(z) применяем второе утверждение леммы Шварца. Это при-
водит к нужной оценке
|ϕ
0
(0)| = |a
2
| ≤ 1.
4.4. Классы звездообразных и выпуклых отображений                           47

и геометрически означает, что при любом фиксированном r = |z| ∈ (0, 1)
с ростом θ касательная к кривой Lr = {f (reiθ ) : θ ∈ [0, 2π]} монотонно
вращается против часовой стрелки, т. е. угол касательной к Lr , определяемый
формулой
                              π
                       γ(θ) = + θ + Argf 0 (reiθ ),
                              2
является монотонно возрастающей функцией от полярного угла θ.

   В дальнейшем, а именно, в главе 6 мы познакомимся с теорией подчинен-
ных функций, позволяющей легко доказать неравенства: |an | ≤ n в классе
однолистных звездообразных функций, и |an | ≤ 1 в классе однолистных вы-
пуклых функций. В этой главе ограничимся доказательством важного част-
ного случая последнего неравенства.


Теорема 4.3. Пусть функция f (z) = z + a2 z 2 + ... голоморфна при |z| < 1,
и f ∈ S0 , тогда |a2 | ≤ 1.

   Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

                                         f 00 (z)
                         P (z) = 1 + z            ,   |z| < 1.
                                         f 0 (z)

В окрестности точки z = 0 имеем:
                               2a2 + 6a3 z + ...
            P (z) = 1 + z                             = 1 + 2a2 z + o(z).
                            1 + 2a2 z + 3a3 z 2 + ...

Функция ϕ = (P −1)/(P +1) определяет отображение полуплоскости Re P >
0 на круг |ϕ| < 1. Поэтому функция

                                          P (z) − 1
                                 ϕ(z) =
                                          P (z) + 1

обладает свойствами:

                       1 + 2a2 z − 1 + o(z)
              ϕ(z) =                        = a2 z + o(z),       z → 0,
                       1 + 2a2 z + 1 + o(z)

и |ϕ(z)| < 1 при |z| < 1.
    К функции ϕ(z) применяем второе утверждение леммы Шварца. Это при-
водит к нужной оценке
                            |ϕ0 (0)| = |a2 | ≤ 1.

Страницы