Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.4. Классы звездообразных и выпуклых отображений 45
Л. де Бранж в 1985 году, доказав, что гипотеза Бибербаха верна при любом
n ≥ 2.
Аналоги гипотезы Бибербаха доказывали и в подклассах S, определяемых
некоторыми геометрическими свойствами. Мы приведем здесь два наиболее
известных подкласса S.
1) Класс звездообразных функций S
∗
⊂ S:
условие f ∈ S
∗
означает по определению, что f ∈ S и область f(D) = Ω
является звездообразной относительно начала координат, т. е. для любой
точки w ∈ f(D) отрезок прямой [0, w] лежит в области f(D).
Необходимым и достаточным условием принадлежности f ∈ S
∗
является
голоморфность функции в единичном круге, нормировки f(0) = f
0
(0)−1 = 0
и выполнение неравенства
Re
zf
0
(z)
f(z)
> 0 (∀z ∈ D).
Здесь, как и всюду в подобных ситуациях, мы считаем, что рассматриваемые
функции продолжены по непрерывности на устранимую особую точку. В
данном случае подразумевается, что zf
0
(z)/f(z) = 1 в точке z = 0, так как
lim
z→0
zf
0
(z)
f(z)
= f
0
(0) lim
z→0
z
f(z)
= 1.
2) Класс выпуклых функций S
0
⊂ S:
условие f ∈ S
0
означает по определению, что f ∈ S и область f(D) = Ω
является выпуклой, т. е. для любых двух точек w
1
∈ f(D) и w
2
∈ f(D)
отрезок прямой [w
1
, w
2
] лежит в области f(D).
Необходимым и достаточным условием принадлежности f ∈ S
0
является
голоморфность функции в единичном круге, нормировки f(0) = f
0
(0)−1 = 0
и выполнение неравенства
Re
µ
1 +
zf
00
(z)
f
0
(z)
> 0 (∀z ∈ D ).
Очевидно, что выпуклая область звездообразна относительно любой сво-
ей точки. Поэтому S
0
⊂ S
∗
.
Укажем также геометрический смысл приведенных выше критериев звез-
дообразности и выпуклости.
4.4. Классы звездообразных и выпуклых отображений                        45

Л. де Бранж в 1985 году, доказав, что гипотеза Бибербаха верна при любом
n ≥ 2.

   Аналоги гипотезы Бибербаха доказывали и в подклассах S, определяемых
некоторыми геометрическими свойствами. Мы приведем здесь два наиболее
известных подкласса S.
   1) Класс звездообразных функций S∗ ⊂ S:
   условие f ∈ S∗ означает по определению, что f ∈ S и область f (D) = Ω
является звездообразной относительно начала координат, т. е. для любой
точки w ∈ f (D) отрезок прямой [0, w] лежит в области f (D).

   Необходимым и достаточным условием принадлежности f ∈ S∗ является
голоморфность функции в единичном круге, нормировки f (0) = f 0 (0)−1 = 0
и выполнение неравенства
                             zf 0 (z)
                        Re            >0      (∀z ∈ D).
                              f (z)
Здесь, как и всюду в подобных ситуациях, мы считаем, что рассматриваемые
функции продолжены по непрерывности на устранимую особую точку. В
данном случае подразумевается, что zf 0 (z)/f (z) = 1 в точке z = 0, так как
                            zf 0 (z)                 z
                      lim            = f 0 (0) lim       = 1.
                      z→0    f (z)             z→0 f (z)



   2) Класс выпуклых функций S0 ⊂ S:
   условие f ∈ S0 означает по определению, что f ∈ S и область f (D) = Ω
является выпуклой, т. е. для любых двух точек w1 ∈ f (D) и w2 ∈ f (D)
отрезок прямой [w1 , w2 ] лежит в области f (D).

   Необходимым и достаточным условием принадлежности f ∈ S0 является
голоморфность функции в единичном круге, нормировки f (0) = f 0 (0)−1 = 0
и выполнение неравенства
                      µ             ¶
                          zf 00 (z)
                   Re 1 + 0           >0  (∀z ∈ D).
                           f (z)

   Очевидно, что выпуклая область звездообразна относительно любой сво-
ей точки. Поэтому S0 ⊂ S∗ .

   Укажем также геометрический смысл приведенных выше критериев звез-
дообразности и выпуклости.

Страницы