Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения
4.3 Теорема Кёбе об одной четвертой
В следующей теореме экстремальной является та же функция Кёбе.
Теорема 4.2. (Теорема П. Кёбе об одной четвертой.) Пусть f ∈ S, тогда
расстояние d(f) = dist(0, ∂f(D)) от начала координат w = 0 до границы
области Ω = f (D) не меньше, чем 1/4. Равенство d(f) = 1/4 реализуется
тогда и только тогда, когда
f(z) ≡ K(z) =
z
(1 − e
iγ
z)
2
.
Доказательство. Пусть f ∈ S, и пусть эта функция не принимает в еди-
ничном круге значения c, т. е. c /∈ Ω = f(D). Тогда 1 −f(z)/c 6= 0 единичном
круге, и поэтому функция g, определенная равенством
g(z) =
f(z)
1 − f(z)/c
,
является аналитической и однолистной в единичном круге и принадлежит
классу S. Ее разложение вблизи начала координат легко выписывается:
g(z) = z + (a
2
+ 1/c)z
2
+ O(z
3
).
По теореме Бибербаха вторые коэффициенты функций f ∈ S и g ∈ S допус-
кают точные оценки
|a
2
| ≤ 2, |a
2
+ 1/c| ≤ 2,
следовательно,
|c| ≥
1
|a
2
+ 1/c| + |a
2
|
≥
1
4
,
что и требовалось доказать.
Очевидно, экстремальной является функция Кёбе, и только она. Этим и
завершается доказательство теоремы.
4.4 Классы звездообразных и выпуклых отоб-
ражений
К. Лёвнер (1923 г.) доказал, что гипотеза Бибербаха верна при n = 3, а
именно, |a
3
| ≤ 3. После него в течение шести десятилетий гипотезой занима-
лись многие математики, подтверждая ее в частных случаях. Точку поставил
44                   Глава 4. Теоремы Кёбе и Бибербаха и их применения

4.3      Теорема Кёбе об одной четвертой
     В следующей теореме экстремальной является та же функция Кёбе.

Теорема 4.2. (Теорема П. Кёбе об одной четвертой.) Пусть f ∈ S, тогда
расстояние d(f ) = dist(0, ∂f(D)) от начала координат w = 0 до границы
области Ω = f (D) не меньше, чем 1/4. Равенство d(f ) = 1/4 реализуется
тогда и только тогда, когда
                                                z
                         f (z) ≡ K(z) =                 .
                                           (1 − eiγ z)2

   Доказательство. Пусть f ∈ S, и пусть эта функция не принимает в еди-
ничном круге значения c, т. е. c ∈
                                 / Ω = f (D). Тогда 1 − f (z)/c 6= 0 единичном
круге, и поэтому функция g, определенная равенством

                                          f (z)
                              g(z) =               ,
                                       1 − f (z)/c

является аналитической и однолистной в единичном круге и принадлежит
классу S. Ее разложение вблизи начала координат легко выписывается:

                       g(z) = z + (a2 + 1/c)z 2 + O(z 3 ).

По теореме Бибербаха вторые коэффициенты функций f ∈ S и g ∈ S допус-
кают точные оценки
                        |a2 | ≤ 2, |a2 + 1/c| ≤ 2,
следовательно,
                                        1            1
                         |c| ≥                      ≥ ,
                                 |a2 + 1/c| + |a2 |  4
что и требовалось доказать.
   Очевидно, экстремальной является функция Кёбе, и только она. Этим и
завершается доказательство теоремы.


4.4      Классы звездообразных и выпуклых отоб-
         ражений
   К. Лёвнер (1923 г.) доказал, что гипотеза Бибербаха верна при n = 3, а
именно, |a3 | ≤ 3. После него в течение шести десятилетий гипотезой занима-
лись многие математики, подтверждая ее в частных случаях. Точку поставил

Страницы