Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.2. Теорема и гипотеза Бибербаха 43
следовательно,
f
α
(z) =
µ
√
z
1 + e
iα
z
2
=
z
(1 + e
iα
z)
2
.
Таким образом, экстремальная функция f
α
(z) совпадает в точности с функ-
цией Кёбе. Приведенный в формулировке теоремы вид z/(1 − e
iγ
z)
2
этой
функции можно получить заменой констант α = γ + π, так как тогда
e
iα
= e
iπ
e
iγ
= −e
iγ
.
Теорема доказана.
Отметим, что экстремальная в теореме функция – функция Кёбе – од-
нолистно отображает единичный круг на всю плоскость, из которой удален
прямолинейный луч (см. задачу 4 из пункта 1.5)
L
γ
=
½
z = −re
−iγ
:
1
4
≤ r < ∞
¾
.
В этом легко убедиться, представив функцию Кёбе как суперпозицию функ-
ции Жуковского и дробно-линейного отображения, так как
K(z) =
z
(1 − e
iγ
z)
2
=
1
e
2iγ
z +
1
z
− 2e
iγ
.
Дифференцируя почленно ряд (бесконечную геометрическую прогрес-
сию) в единичном круге
1
1 − z
= 1 + z + z
2
+ ...,
легко получаем разложение в ряд Тейлора функции Кёбе при γ = 0:
K
0
(z) =
z
(1 − z)
2
= z + 2z
2
+ 3z
3
+ ... + nz
n
+ ... .
Итак, для этой функции a
n
= n при любом n ≥ 2. С учетом этого факта в
1916 году Л. Бибербах выдвинул следующую гипотезу: для любой функции
f ∈ S
|a
n
| =
|f
(n)
(0)|
n!
≤ n.
Очевидно, если эта гипотеза верна, то экстремальной функцией, для ко-
торой реализуются равенства в этих оценках, является функция Кёбе.
4.2. Теорема и гипотеза Бибербаха                                         43

следовательно,
                               µ     √         ¶2
                                       z                     z
                    fα (z) =                        =                .
                                   1 + eiα z            (1 + eiα z)2
Таким образом, экстремальная функция fα (z) совпадает в точности с функ-
цией Кёбе. Приведенный в формулировке теоремы вид z/(1 − eiγ z)2 этой
функции можно получить заменой констант α = γ + π, так как тогда
eiα = eiπ eiγ = −eiγ .
    Теорема доказана.
    Отметим, что экстремальная в теореме функция – функция Кёбе – од-
нолистно отображает единичный круг на всю плоскость, из которой удален
прямолинейный луч (см. задачу 4 из пункта 1.5)
                        ½                  ¾
                                 −iγ  1
                    Lγ = z = −re     : ≤r<∞ .
                                      4

В этом легко убедиться, представив функцию Кёбе как суперпозицию функ-
ции Жуковского и дробно-линейного отображения, так как

                                  z            1
                  K(z) =                 = 2iγ            .
                                    iγ
                             (1 − e z) 2  e z + z1 − 2eiγ


   Дифференцируя почленно ряд (бесконечную геометрическую прогрес-
сию) в единичном круге

                             1
                                = 1 + z + z 2 + ...,
                            1−z

легко получаем разложение в ряд Тейлора функции Кёбе при γ = 0:
                           z
             K0 (z) =            = z + 2z 2 + 3z 3 + ... + nz n + ... .
                        (1 − z)2

Итак, для этой функции an = n при любом n ≥ 2. С учетом этого факта в
1916 году Л. Бибербах выдвинул следующую гипотезу: для любой функции
f ∈S
                                  |f (n) (0)|
                          |an | =             ≤ n.
                                      n!
   Очевидно, если эта гипотеза верна, то экстремальной функцией, для ко-
торой реализуются равенства в этих оценках, является функция Кёбе.

Страницы